9.4. Удосконалення методу Ейлера

Розглянемо дві модифікації методу Ейлера. При цьому в доповнення до угоди 9.1 вважатимемо, що усі частинні похідні другого порядку функції неперервні в області обчислень. Тоді через теорему 9.2 рішення рівняння мають безперервну третю похідну. Обчислювальні формули виводитимемо двома способами: геометрично і аналітично. Геометричні міркування наочні, а аналітичні викладення дозволять охарактеризувати точність методів (див. 9.5).

9.4.1. Метод Ейлера - Коши

Геометричне виведення. Нехай відомі дані та . Точніше наближення можна отримати, якщо враховувати напрями інтегральних кривих, характерні початка і кінця відрізку . Ілюстрація обчислення при приведена на мал. 9.4.

Мал. 9.4

Точка лежить на деякій інтегральній кривій (при це точне рішення задачі Коші , дотична до якої в точці має кутовий коефіцієнт . По формулі (9.11) знаходимо ординату точки на цій дотичній, відповідній абсцисі :

(9.12)

Зауважимо, що в методі Ейлера число приймалося за шукане наближення до . Тут же воно використовується лише для визначення "кінцевої" точки .

Обчисливши , дізнаємося напрям, що проходить через , інтегральної кривої в цій точці. Тепер знайдемо "усереднений" напрям кривих на даному відрізку:

(9.13)

і візьмемо за число (9.14)

Геометричний зміст формули (9.14) наступний. Якщо через вихідну точку провести пряму з кутовим коефіцієнтом та взяти на ній точку з абсцисою , тo (9.14) визначає ординату цієї точки. Формули (9.12) – (9.14) в сукупності задають алгоритм послідовного обчислення методом Эйлера- Коши.

Аналітичний висновок. Для простоти обмежимося отриманням

формул (9.12) – (9.14) при .

У основі обчислень методом Ейлера лежить лінійне, відносно h, усікання формули Тейлора. Можна чекати більш високої точності від , якщо замість лінійного усікання брати квадратичне.

Має місце рівність

, (9.15)

з якого відкиданням доданку з отримаємо

(9.16)

Підставимо в (9.16) замість його наближене значення

,

наявність якого виходить з визначення другої похідної.

Тоді

. (9.17)

Тут відоме число . Щоб виразити через значення функції f, знайдемо "грубе" наближення до :

(це формула (9.12) при ) і позначимо через Ψ рішення рівняння (9.1), що задовольняє початковій умові: . Зрозуміло, що

. Оскільки φ та Ψ являються спорідненими рішеннями, можна узяти:

.

Якщо тепер підставити отримані вирази для похідних та в (9.17), потім позначити дріб через , а знайдене таким чином наближення до через у₁ матимемо формули (9.13) і 9.14) при . Виведення формул для обчислення виконується за аналогічною схемою з використанням замість рішень , що задовольняють умовам .

Вправи

9.11. Доповніть мал. 9.4 побудовами для визначення .

9.12. Обчисліть методом Эйлера-Коши та із впр. 9.9 і порівняєте їх за точності з отриманими по методу Ейлера.

9.13. Проведіть аналітичне виведення формул методу Эйлера-Коші у разі довільного .