9.2. Поняття чисельного рішення задачі Коші

Потреба в наближеному рішенні задачі Коші виникає передусім у тому випадку, коли диференціальне рівняння не належить жодному з класів рівнянь, для яких відомі точні методи інтеграції. До таких рівнянь відноситься, наприклад, рівняння з впр. 9.4. Наближені методи часто застосовують і тоді, коли точні методи виявляються не ефективними зважаючи на великі витрати часу і зусилля для їх реалізації. На практиці найбільш поширеними є чисельні методи наближеної інтеграції диференціальних рівнянні, завдання Кошi що дають рішення, у вигляді таблиці наближених значень точного рішення φ. Цю таблицю [таблично задану функцію ] і називають чисельним рішенням задачі Коші.

Для виконання початкової умови (9.4) таблиця повинна містити дані .

Якщо заданий кінцевий проміжок, на якому шукається рішення, і точка х₀ лежить у середині цього проміжку, наближене рішення має вигляд таблиці 9.1. Спочатку в ній відомі, , потім відшукуються інші табличні дані.

х	у
… …	… …

Табл.9.1

Оскільки правила визначення "верхніх" і "нижніх" (відносно )

даних однакові, шукатимемо це рішення у вигляді таблиці. 9.2.

х	у
…	…

Табл. 9.2

Для побудови таблиці. 9.2 вибирається крок h і обчислюються табличні аргументи (i = 1,2,.., n). Потім послідовно знаходяться числа близькі до значень точного рішення i в точках :

(i = 1,2,.., n). (9.6)

Точність наближеної рівності (9.6) залежить від способу обчислення у_і та від кроку таблиці h. Чим менше крок, тим вище повинна бути точність таблиці. Задане значення вважається точним числом. Погрішності з'являються при обчисленні _, а далі зазвичай відбувається їх накопичення.

У параграфах 9.3 і 9.4 викладаються методи визначення у_і, а питання оцінки їх погрішностей розглядаються в 9.5.

Таблиця. 9.2 є наближенням до рішення φ. Якщо на площині х0у побудувати точки таблиці і з'єднати їх відрізками, вийде так звана ламана Ейлера (мал. 9.2). Вона буде наближенням інтегральної кривої .

Теорема 9.2. Якщо усі часткові похідні функції до -го

порядку безперервні в прямокутній області , то всяке рішення рівняння (9.1), графік якого проходить через внутрішню точку цієї області, має похідну порядку, безперервну в деякій околиці .

Вправи

9.6. Чисельне наближення точного рішення φ задачі Коші найпростіше можна отримати у разі рівнянь виду . Переконайтесь, що формули

(i = 0, 1,.., n - 1) дозволяють знаходити точні значення . З'ясуєте, коли вичислені по цих формулах значення у_і можуть виявитися наближеними.

9.7. Застосовуючи формули з впр. 9.6, знайдіть чисельне рішення задачі Коші з впр. 9.3 па відрізку [0; 3] з кроком h = 1. Побудуйте ламану Ейлера і графік точного рішення.