Крамеровская система линейных уравнений

Система линейных уравнений (4), или в матричном виде (5), называется крамеровской¹, если .

Пусть , и . Тогда, раскладывая по -ому столбцу, получим . Рассмотрим , где , т.е. – матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы . Докажем, что .

Пусть , тогда Таким образом, если , получаем , с другой стороны , тогда . Действительно, подставляя найденные решения в систему (4), получаем .

Следствие. Решение крамеровской системы линейно зависит от .

1) Пусть , тогда .

2) Пусть , тогда .

Нам были известны строчечный и столбцовый ранги матрицы . Введем понятие минорного ранга матрицы. – наибольший порядок минора матрицы , отличного от нуля.

Теорема 3. .

Доказательство. Пусть наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен . Не уменьшая общности, будем считать, что минор , отличный от нуля, расположен в левом верхнем углу матрицы , т.е. . Матрица имеет вид:

.

Очевидно, что первые строк матрицы будут между собой линейно независимыми, так как в противном случае для любого , а значит и для любого ,но тогда =0, получаем противоречие с выбором минора.

Итак, .

Докажем, что если , то -ую строку можно представить как линейную комбинацию первых строк.

Для любого , такого, что , строим вспомогательный определитель -го порядка ∆ = . Несложно проверить, что .

Действительно, если , то мы получаем минор -го порядка, а он по условию равен 0, если , то это будет не минор и в получаем два равных столбца, т. е. .

Найдем такие, что . Так как это крамеровская система ( ≠0), она имеет единственное решение.

Из -ой строки определителя вычтем линейную комбинацию строк с найденными коэффициентами .

=( ) =

=( ) =0.

А так как ≠0, то =0, т.е. -ая строка есть линейная комбинация первых строк для любого .

Таким образом, в системе строк матрицы имеется максимальная линейно независимая подсистема, состоящая из строк. Этим доказано, что строчечный ранг матрицы .

Следствие. тогда и только тогда, когда строки(столбцы) матрицы линейно зависимы.

Доказательство. Необходимость. Пусть , тогда минорный ранг , и , значит строки матрицы линейно зависимы.

Достаточность следует из свойств определителя.

Интерполяционный многочлен

Предположим, что относительно некоторой функции известна только таблица значений в различных точках числовой оси. Задача интерполяции состоит в нахождении «правдоподобного» ответа на вопрос о значении функции при значении аргумента, не содержащемся в таблице.

Один из способов решения использует интерполяционный многочлен – многочлен степени такой, что .

Теорема 9. Для заданных значений и , таких что существует единственный интерполяционный многочлен.

Доказательство. Предположим, что существуют два различных многочлена и , причем при всех имеем . Тогда многочлен, отличный от нуля, имел бы корней – ( ), но многочлен степени не больше может иметь корней не больше . Полученное противоречие позволяет сделать вывод о единственности интерполяционного многочлена.

Докажем существование. Возьмем многочлен . Обозначим через многочлен . Заметим, что для . Многочлен называется интерполяционным многочленом в форме Лагранжа. Подставив в , получим

. Теорема доказана.