1.2.3. Уравнения системы автоматического регулирования (сар)

Свойства системы автоматического регулирования (САР) определяются свойствами составляющих ее элементов объекта и регулятора.

Для правильного выбора регулятора необходимо исследовать статические и динамические характеристики регулирования, определить, устойчива ли система, приемлемо ли качество

32

переходного процесса. Для исследования САР необходимо прежде всего составить уравнение описывающее процесс, происходящий в объекте, а затем и во всей системе.

Различают уравнения статики (или уравнения установившихся режимов) и уравнения динамики (или уравнения переходных процессов). Первые являются алгебраическими уравнениями, при которых возмущающие и задающие воздействия принимаются постоянными. Уравнения динамики обычно дифференциальные. Они определяют поведение системы в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действия. Процессы, протекающие в промышленных установках, многообразны, в каждом отдельном случае уравнения динамики элементов автоматической системы составляются на основе физических законов, определяющих процессы, протекающие в элементах системы, и требуют индивидуального подхода. Здесь рассмотрены линейные дифференциальные уравнения, т. е. такие, в которых левая часть — многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производных, не содержащий их произведений. Линейная САР в общем виде записывается обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, которое имеет следующий вид:

где — постоянные коэффициенты; - величина регулируемая (выходная); — величина, вызывающая реакцию системы (входная); ( — время изменения переменных величин, — показатели степени.

Уравнение является линейным, если коэффициенты - не зависят ни от ни от

В разделе высшей математики, посвященном применению различных преобразований для решения диффе­ренциальных уравнений, дано преобразование Лапласа, на основании которого вводится символ р как упро­щенное условное обозначение операции дифференциро­вания. Согласно этому .Соответственно для операции интегри­рования вводят обозначения . Такая форма записи называется операторной, а символ

33

оператором. Операторный метод позволяет свести дифференцирова­ние к умножению, а интегрирование к делению.

В общем случае преобразование по Лапласу выпол­няют по формуле

где — исходная функция вещественного переменного, подлежащего преобразованию (эта функция называется оригиналом); р — комп­лексная переменная преобразования; t— вещественная переменная;F(p)— функция комплексного переменного р, называемая изображе­нием функции f(t).

Например, , тогда .

Если уравнение преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях, т. е. когда система до момента приложения воздействия находилась в состоянии покоя, то оно приобретает вид:

где зависят уже не от вещественной величины t а от комплексной р. В уравнении функции являются оригиналами, а изображениями, причем X(р) = (для простоты написания в дальнейшем буква р в функциях опущена). Преобразуя уравнение, получают:

Вместо многочленов, приведенных в уравнении можно принять, что

где L(p) и N(p)— операторные многочлены.

В теории автоматического регулирования широко используют понятие передаточной функции W(р). Переда­точной

34

функцией системы автоматического регулирова­ния называется отношение выходной величины к входной величине, преобразованных по Лапласу при нулевых на­чальных условиях. Передаточная функция может быть определена из выражения:

,

т. е. передаточная функция равна отношению операторов правой и левой частей дифференциального уравнения систем.

В теории автоматического регулирования передаточная функция элементов и систем является важнейшей характеристикой, определяющей их динамические свой­ства.

Передаточная функция и изображение входного сиг­нала позволяют найти изображение выходной величины:

Знаменатель передаточной функции определяют ха­рактеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

где — постоянные коэффициенты.

Пример. Необходимо составить дифференциальные уравнения объекта регулирования уровня. Регулируемой величиной является уровень Н в баке; регулирующим воздействием — расход жидкости, поступающей в бак.

Расход жидкости на выходе из бака Q_вых зависит от уровня жидкости в баке. Принято, что эта зависимость имеет следующий вид:

где k — коэффициент пропорциональности.

Бак имеет цилиндрическую форму. Поэтому количество воды, находящееся в баке q, можно определить по формуле q= , где — плотность жидкости, s — поперечное сечение бака.

Уравнения материального баланса для бака при статическом режиме:

при динамическом режиме:

где t - текущее время.

35

Вычитая из последнего уравнения предыдущее и подставляя значения, и q получают:

Вводя в это уравнение обозначении: и принимая во внимание, что получают:

Принимая, что в результате получают дифференциальное уравнение, описывающее динамический режим:

Отсюда передаточная функция по каналу «расход жидкости, поступающей в бак – уровень жидкости в баке»:

Последнее уравнение – это дифференциальное уравнение первой степени, уравнение апериодического звена. Из него видно, что для исследования процесса регулирования необходимо знать регулируемую величину и ее производную т.е. скорость ее изменения во времени.

36