18)Графическое представление выборки:

Гистограмма: Ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями длиной и высотами (плотность частоты), называется гистограммой частот.

Полигон частот: Ломаная, отрезки которой соединяют точки , называется полигоном частот. Ломаная, соединяющая на координатной плоскости точки , называется полигоном относительных частот.

19. Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке: (3.6). Смещенной называется оценка, при которой условие (3.6) не выполняется.

Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п. Состоятельной называется статистическая оценка типа , которая при стремится к оцениваемому параметру.

20. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

1. Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборке объема n:

2. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании: «исправленная дисперсия»

3. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при известном математическом ожидании а генеральной совокупности:

4. Состоятельная смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Свойства точечных оценок:

1^о. . 2^о. а) б) .

3^о. Если , где с – некоторая константа, то а) ; б) , где .

21. Методы нахождения оценок: метод моментов

Метод моментов заключается в следующем: любой момент случайной величины (например, -й) зависит, часто функционально, от параметра . Но тогда и параметр может оказаться функцией от теоретического -го момента. Подставив в эту функцию вместо неизвестного теоретического -го момента его выборочный аналог, получим вместо параметра оценку .   Пусть , , — выборка объема из параметрического семейства распределений , где . Выберем некоторую функцию так, чтобы существовал момент

(3)

и функция была обратима в области . Тогда в качестве оценки для возьмем решение уравнения

  Или (что то же самое), сначала решаем уравнение (3) относительно , а затем вместо истинного момента берем выборочный:

Чаще всего в качестве функции берут . В этом случае

и, если функция обратима в области , то

Можно сказать, что мы берем в качестве оценки такое (случайное) значение параметра , при котором истинный момент совпадает с выборочным.

Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия — еще один разумный способ построения оценки неизвестного параметра. Состоит он в том, что в качестве «наиболее правдоподобного» значения параметра берут значение , максимизирующее вероятность получить при опытах данную выборку . Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

Решим сначала, что такое «вероятность получить данную выборку», т.е. что именно нужно максимизировать. Вспомним, что для абсолютно непрерывных распределений их плотность — «почти» (с точностью до ) вероятность попадания в точку . А для дискретных распределений вероятность попасть в точку равна . И то, и другое мы будем называть плотностью распределения . Итак,

22. Интервал , в который с вероятностью р попадает параметр , называется доверительным интервалом параметра с уровнем доверия р,т.е.

Квантилем уровня р называется такое число x_p, для которого выполняется равенство

Для оценки M и D используют следующие квантили:

– квантиль распределения Стьюдента;

– квантиль распределения Пирсона, значения которых приведены в Приложениях (табл. П.5, П.4 соответственно).

Теорема.Пусть задано число Тогда при достаточно большом объеме выборки параметры М и D имеют следующие доверительные интервалы:

Число – вероятность ошибки Ι рода, называется уровнем значимости. Обычно при фиксированном объеме выборки уровень значимости задан. Снижение вероятностей ошибок Ι и ΙΙ рода возможно за счет увеличения объема выборки.

.

23.

Или

23) Интервальные оценки математического ожидания а и дисперсии D нормально распределенной генеральной совокупности по выборке объема n с надежностью 1^*. При известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности , где значение аргумента функции Лапласа , при котором

или , где точность оценки.2^*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки )

, где квантиль распределения Стьюдента уровня p с k степенями свободы (находится по таблице).

3^*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении

. 4^*. При известном математическом ожидании а

24)Проверка статистических гипотез о виде закона распределения с помощью критерия Пирсона х^2: Статистическая гипотеза – это предположение относительно того, каков закон распределения некоторой случайной величины, каковы величины независимых параметров закона распределения случайной величины и т.д.

Выдвигаем гипотезу . Вычисляем по выборке меру расхождения эмпирических частот и теоретических частот , соответствующих гипотезе , где теоретическая вероятность попадания в i-й интервал, вычисленная в условиях гипотезы .

Находим по таблице распределения Пирсона квантиль , где m – число интервалов вариационного ряда, r – число параметров распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Если , то гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.