3.Свойства функции Гаусса:

1) функция четная, т.е.

;

2) функция монотонно убывает при положительных значениях х, причем

.

при ;

3) площадь, заключенная между осьюОх и графиком функции Гаусса равна единице.

По определению функция Лапласа Ф(x) – этоплощадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [0; x], и ограниченной сверху функцией Гаусса (рис. 1.10).

Свойства функции Ф(x):

1. Ф(x) нечетная, т. е. Ф(–x) = – Ф(x);

2. Ф(x) возрастает на всей числовой оси;

3. 

Последнее свойство следует из свойств функции Гаусса и геометрической интерпретации функции Лапласа, причем с учетом нечетности Ф(x)

при .

Связь - функция Гаусса является производной функции Лапласа.

5. Если с испытанием связана некоторая величина, значение которой зависит от случая, то эта величина называется случайной.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные значения с определенной вероятностью. Число определенных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным, но счетным. Непрерывной случайной величиной называют величину, значения которой полностью заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток на числовой оси.

6. Числовые характеристики СВ: числовые характеристики случайной величины (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и др.), которые дают некоторое приближенное описание случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма всех произведений её возможных значений на их вероятности: Свойства математического ожидания:

1. 2. 3.

4.

Дисперсией дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её отклонения от своего математического ожидания:

Свойства дисперсии:1. 2. 3.

4. . Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из её дисперсии:

Мода: дискретной случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность  вероятности максимальна..

Медиана случайной величины Х – это варианта, которая делит вариационный ряд на 2 равные части. Ме=Хк+Хк+1/2

7. Функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х окажется левее заданной точки х, т. е. попадает в интервал .

Основные свойства функции распределенияF(x):

1.

2. F(x) – неубыв. функция, т. е. при

3. , т. е. .

4. , т. е. .

5. .

6.

8.Биноминальный закон распределения ДСВ: , где .

Закон распределения Пуассона: , , где число – параметр закона Пуассона.

.

Геометрический закон распределения ДСВ: , где , .

.

9) Плотностью вероятности или дифференциальной функцией распределения называется функция . Плотность распределения вероятностей f(x) существует только для непрерывных случайных величин, при условии, что F(x) дифференцируема, и обладает следующими свойствами:

1. f(x)0. 2. 3. . 4. .

10) Равномерное и показательное распределения нсв: функция распределения, плотность, основные параметры распределения, числовые характеристики, вероятность попадания на интервал.

		M(X)	D(X)	σ(X)
Равномерный					Ошибка округления до ближайшего целого деления. Время ожидания транспорта с постоянным интервалом движения.

Постоянная , т. к. по свойству плотности вероятности площадь криволинейной трапеции, опирающейся на отрезок [a, b], должна быть равна 1.

График изображен на рис. 2.11.

		M(X)	D(X)	σ(X)
П оказательный закон					Время безотказной работы прибора; продолжительность телефонного разговора

т.к >0, =>, . График изображен на рис. 2.12.

.

11. Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной с параметрами , если её плотность вероятности задается формулой:

Функция распределения F(x) нормальной случайной величины

Теорема.Если непрерывная случайная величина Х нормально распределена c плотностью вероятности, то её числовые характеристики равны:

.

Для нормально распределенной случайной величины Х имеют место следующие свойства.

Свойство 1. Для нормально распределенной случайной величины с параметрами вероятность попадания на промежуток вычисляется по формуле:

Доказательство.По свойству плотности вероятности, свойству интеграла и равенству (2.11) имеем:

Ч.т.д

Свойство 2. Для нормально распределенной случайной величины Х с параметрами вероятность отклонения Х от своего среднего значенияа меньше, чем на , вычисляется по формуле

.

Доказательство.Используя равенство (2.12)и нечетность функции Лапласа, получаем требуемое:

Свойство 3. Правило трех сигма.Все значения нормально распределенной случайной величины с практической достоверностью лежат в интервале , т. е.

Доказательство:

Свойство 4. Пусть – независимые нормальные случайные величины с параметрами . Тогда случайная величина также нормально распределена и

12) Распределение χ2 Пирсона, f- распределение Фишера, t- распределение Стьюдента; основные параметры этих распределений, графики.

Распределение Пирсона (xu – квадрат)

где ~

;

Р

аспределение Стьюдента (t- распределение)

, где ~

;

Распределение Фишера-Снедекора (F – распределение)

;

13) Неравенства Маркова и Чебышева, лемма о среднем арифметическом случ.Величин.

Неравенство Маркова: Если Х – неотрицательная НСВ ( ), тогда справедливо неравенство .

Неравенство Чебышева: Пусть Х – СВ с числовыми характеристиками и , тогда справедливо неравенство .

О среднем арифметическом:Если независимые однотипные CВ с математическим ожиданием а и дисперсией D, тогда справедливо неравенство

.