Лабораторная работа №2.2 Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная)

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает.

Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Пример 1. Число ССХХХII складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно двумстам тридцати двум.

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа — большая, то их значения вычитаются.

Например, VI=5+1=6, а IV=5-1=4.

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) + (-10 + 100) + 5+1+1+1=1998.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой Ее основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр, а при n> 10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Основание	Название	Алфавит
n = 2	двоичная	0 1
n=8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
n =16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А ВСD Е F
n =10	десятичная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу. Например:101101₂, 3671₈, 3В8F₁₆

В системе счисления с основанием q (q-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q. q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в q -ичной системе счисления требуется q различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., q - 1. Запись числа q в q -ичной системе счисления имеет вид 10.

Развернутой формой записи числа называется запись в виде:

A _q = (a _n-1q ^n-1 + a _n-2 q ^n-2 + … + a ₀ q ⁰ + a _-1 q ^-1 + a _-2 q ^-2 + ... + a _–m q ^–m)

Здесь A _q - само число, q - основание системы счисления, a_i — цифры данной системы счисления, n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Пример. Получить развернутую форму десятичных чисел 32478; 26,387.

32478₁₀ = 3 × 10000 + 2 × 1000 + 4 × 100+ 7 × 10 + 8 =3 × 10⁴ + 2 × 10³ + 4 × 10² + 7 × 10¹+ 8 × 10⁰

26,387₁₀ = 2 × 10¹+ 6 × 10⁰+ 3 × 10 ^-1+ 8 × 10 ^-2 + 7 × 10 ^-3

Если любое недесятичное число представить в развернутой форме по своему основанию и вычислить полученное выражение по правилам арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. По этому принципу производится перевод из недесятичной системы в десятичную.

Пример. Перевести числа в десятичную систему счисления.

101101₂= 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1× 2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 32 +8+4+ 1=45₁₀

15FС₁₆ = 1 × 16³ + 5 ×16² + 15 × 16¹ + 12 = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀

101,11₂ = 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 1×2^-2 == 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75₁₀.

Десятичные, восьмеричные, шестнадцатеричные и двоичные эквиваленты чисел  

Десятичная система	Восьмеричная система	Шестнадцатеричная система	Двоичная система
0	0	0	0
1	1	1	1
2	2	2	10
3	3	3	11
4	4	4	100
5	5	5	101
6	6	6	110
7	7	7	111
8	10	8	1000
9	11	9	1001
10	12	A	1010
11	13	B	1011
12	14	C	1100
13	15	D	1101
14	16	E	1110
15	17	F	1111
16	20	10	10000
17	21	11	10001
18	22	12	10010
19	23	13	10011
20	24	14	10100

Задание:

1. Просмотреть презентацию и выполнить указанные вычисления.

2. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

1) 53; 65; 70; 23; 35;

2) 12; 54; 76; 21; 36.

3. Перевести целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную

1) 856; 664; 5012; 6435; 78;

2) 214; 89; 998; 653; 111.

4. Перевести десятичные дроби в двоичную систему счисления. В двоичной записи числа сохранить шесть знаков

1) 0,654; 0,321; 0,6135; 0,9876;

2) 0,555; 0,333; 0,1213; 0,453.

5. Перевести десятичные дроби в шестнадцатеричную систему счисления. В новой записи дроби сохранить шесть знаков.

1) 0,745; 0,101; 0,8453; 0,3451;

2) 0,8455; 0,225; 0,1234; 0,455.

6. Перевести смешанные десятичные числа в двоичную и восьмеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:

1) 21,5; 432,54; 678,333;

2) 12,25; 97,444; 7896,2.

7. Перевести смешанные десятичные числа в шестнадцатеричную системы счисления, оставив пять знаков в дробной части нового числа:

1)40,5; 34,25; 124,44;

2) 78,333; 225,52; 90,99.

8. Перевести в десятичную систему счисления:

1) 111101₂, 3671₈, 3В8F₁₆

2) 1010010₂, 5143₈, 2С4А₁₆