Завдання для самостійної роботи

Перевірити чи є функція скалярним добутком у

лінійному просторі .

1. , .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , .

7. , .

8. , .

9. , .

10. , .

11. , .

12. , .

13. , .

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

18. , .

19. , .

20. Нехай - додатно-визначена неперервна функція на відрізку [0,1]. Перевірити чи є функція скалярним добутком у лінійному просторі .

21. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

22. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

23. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

24. Знайти кути між елементами , в евклідовому просторі .

25. Знайти кути між елементами , в евклідовому просторі .

26. Знайти кути між елементами , евклідовому просторі .

27. Знайти кути між функціями у просторі зі скалярним добутком .

28. Довести, що в евклідовому просторі Х для довільних елементів має місце тотожність Аполонія

.

Перевірити чи є функція скалярним добутком у

лінійному просторі .

29. , .

30. , .

31. , .

32. , .

33. , .

34. , .

35. , .

36. , .

37. ,

38. , .

39. , .

40. , .

41. , .

42. , .

43. , .

44. , .

45. , .

46. Нехай - додатно-визначена неперервна функція на відрізку [0,1]. Перевірити чи є функція скалярним добутком у лінійному просторі .

47. Нехай - додатно-визначені неперервні функції на відрізку [0,1]. Перевірити чи є функція скалярним добутком у лінійному просторі .

48. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

49. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

50. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

51. Довести, що в нормованому просторі норма не породжується скалярним добутком.

52. Знайти кути між елементами , в евклідовому просторі .

53. Знайти кути між елементами , в евклідовому просторі .

54. Знайти кути між елементами , в евклідо- вому просторі

55. Знайти кути між функціями у просторі зі скалярним добутком .

56. Довести, що функція задає скалярний добуток у лінійному просторі .

57. Довести, що в евклідовому просторі Х для довільних елементів справедлива нерівність Птоломея

.

58. Довести, що в евклідовому просторі рівність , виконується тоді і тільки тоді, коли або , або для деякого .

59. Нехай - ортогональна система в гільбертовому просторі . Довести, що ряд збігається в тоді і тільки тоді, коли збіжний числовий ряд .

60. Нехай - ортонормована система в гільбертовому просторі , - послідовність дійсних чисел. Довести, що ряд збіжний в тоді і тільки тоді, коли .

Практична робота №2 Лінійні неперервні функціонали

Нехай - нормований простір. Відображення називається функціоналом. Функціонал називається лінійним, якщо для довільних чисел і довільних елементів виконується рівність .

Функціонал називається неперервним у точці , якщо при .

Теорема. Якщо лінійний функціонал неперервний в точці , тоді він неперервний в будь-якій точці .

Лінійний функціонал називається неперервним, якщо він неперервний в точці .

Лінійний функціонал називається обмеженим, якщо , що для будь-якого елемента виконується нерівність .

Теорема. Лінійний функціонал неперервний тоді і тільки тоді, коли він обмежений.

Нормою лінійного неперервного функціонала називається число

. (1)

Приклад 1. Перевірити лінійність, неперервність функціонала і знайти його норму.

Розв’язування. Для будь-яких чисел і довільних елементів маємо :

Значить, функціонал лінійний.

Візьмемо будь-який елемент і оцінимо значення функціо- нала на ньому: . Оскільки , тоді , і . Функціонал обмежений, а значить, неперервний і . Припустимо, що існує такий елемент із одиничною нормою, для якого . Тоді повинна виконуватись наступна рівність . Так як і , то ця рівність може виконуватись лише тоді, коли або . Візьмемо, наприклад, елемент . Норма його а значення функціонала на ньому . Враховуючи раніше отриману оцінку отримаємо, що норма функціонала дорівнює 5, тобто .

Приклад 2. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. . Нехай - довільні дійсні числа, а , - довільні послідовності простору .Тоді

тобто функціонал лінійний.

Візьмемо будь-який елемент і оцінимо значення : При оцінці значення ми використали нерівність Коші –

Буняковського в просторі . Значить, функціонал обмежений і неперервний, причому .

Припустимо, що існує послідовність із одиничною нор- мою, для якої , тобто . Рівність справджується при . Розглянемо тепер елемент . Його норма

, а значення функціонала на ньому

.

Отже, норма функціонала дорівнює .

Приклад 3. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. Перевіримо лінійність функціонала. Для довільних дійсних чисел і довільних елементів , маємо :

Значить, функціонал є лінійним.

Оцінимо значення для будь-якого елемента :

Звідси випливає обмеженість, неперервність функціонала і оцінка .

Нехай існує послідовність , норма якої дорівнює одиниці, така, що . Тоді маємо . Рівність виконується, наприклад, при . Розглянемо послідовність . Вона на- лежить простору , має одиничну норму, а значення функціонала . Отже, норма функціонала рівна 3.

Приклад 4. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. Для будь-яких чисел і довільних послідовностей маємо .

Оскільки послідовності і є обмеженими, а ряд є абсолютно збіжним, тому

.

Значить, функціонал є лінійним.

Нехай - будь-яка послідовність простору . Тоді

.

Так як , тому . Звідки отримаємо, що функціонал обмежений, неперервний і .

Припустимо, що в просторі існує послідовність із одиничною нормою така, що . Тоді повинна виконуватись рівність . Вона можлива тоді і тільки тоді, коли . Тобто послідовність повинна мати вигляд . Ця послідовність не збіжна до нуля, тому просто- ру не належить. Значить, у просторі не існує елемента з оди- ничною нормою, значення функціонала на якому дорівнює .

Розглянемо послідовність елементів , простору . Норма кожного елемента послідовності дорівнює одиниці. Знайдемо значення функціонала на елементах послідовності :

Отримані значення, як неважко переконатись, співпадають із послідовністю часткових сум ряду тому . Звідси випливає, що . Враховуючи раніше отриману оцінку , отримаємо .

Приклад 5. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. Для будь-яких дійсних чисел і довільних послідовностей маємо

Ряди і абсолютно збіжні і для кожного , тому

Тим самим лінійність функціонала перевірена.

Перевіримо тепер його неперервність. Для будь-якої послідовності отримаємо :

.

Отже, функціонал обмежений, тобто неперервний, а також

.

Нехай існує елемент із одиничною нормою такий, що

, тобто виконується рівність . Але для будь-якого завжди , тому

.

Отримали протиріччя, тобто такого елемента в просторі не існує.

Розглянемо послідовність елементів , , …, простору із одиничною нормою. Знайдемо значення функціонала на елементах цієї послідовності:

.

Оскільки , то звідси випливає, що .

Отже, маємо і , тобто .

Приклад 6. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. Для довільних чисел і довільних функцій отримаємо :

Умова лінійності функціонала виконується.

Оцінимо значення функціонала на будь-якому елементі простору . Маємо . Згідно визначення норми в просторі , звідси для кожного із відрізка , тобто і . Тоді . Значить, функціонал обмежений, неперервний і .

Знайдемо норму функціонала. Нехай існує така функція , норма якої дорівнює одиниці, що . Оскільки , то значення функції в точках і по модулю не перевищують одиниці. Звідси випливає, що рівність може виконуватись тоді, коли або . Розглянемо функцію . Норма цієї функції , а в точках і її значення відповідно дорівнюють і . Оскільки раніше отримали оцінку , а для функції маємо , то норма функціонала дорівнює .

Приклад 7. Перевірити лінійність, неперервність функціонала , і знайти його норму.

Розв’язування. Перевіримо лінійність функціонала:

тобто функціонал лінійний.

Для довільної функції маємо :

,

бо . Отже, функціонал обмежений, причому .

Припустимо, що існує функція , , така, для якої . Тоді повинна виконуватись рівність . Функція міняє знак на відрізку , і, крім того, , тому рівність можлива тоді і тільки тоді, коли . Але функція не належить простору .

Розглянемо послідовність функцій : , , , , , , .

Кожна функція неперервна на відрізку і має одини-чну норму. Обчислимо значення функціонала на елементі :

тобто . Оскільки при , то це означає, що .Але раніше було отримано оцінку . Значить, .