2. Тензор скоростей деформаций. Реологические уравнения.

Тензор напряжений (или напряжённое состояние точки среды) зависит от скорости течения среды. Кинематическое соотношение, характеризующее движение жидкости, - это градиент скорости .

В общем случае течение, возможно, более чем одно ненулевое направление градиента скорости. Каждый из трёх компонентов скорости может изменяться в трёх координатных направлениях, что даёт девять возможных компонент градиента. Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости , который в декартовых координатах запишется:

Напряжённое состояние среды связано и определяется дифференциальными изменениями. Так, например, под воздействием одной и той же растягивающей силы различные материалы получают различные удлинения. Связь напряжений и деформаций для твёрдых тел осуществляется с помощью закона Гука:

где

E – модуль упругости, физический смысл – напряжение.

Напряжения, их величина, в вязкой, жидкой среде связаны со скоростями течения среды.

Причём чем сильнее изменяется величина скорости по сечению канала, тем больше усилие действует на среду, тем большее напряжение в среде возникает:

; величина называется градиентом скорости.

Движение жидкости представляет собой одновременное перемещение и вращение. Такие движения можно разделить, представить тензор градиентов деформацией в виде двух частей:

Где и - тензор скоростей деформации и вращательный тензор.

Тензор скоростей деформаций вводится следующим образом:

, где

тензор - транспонированный тензор, имеющий те же компоненты, что и , но с переставленными индексами (столбцы и строки переставлены).

Уравнениями состояния или реологическими уравнениями называют уравнения связывающие тензор напряжений и тензор скоростей деформаций, т.е.

В том случае, если связь между этими тензорами линейна, то говорят, что жидкость является ньютоновской.

Если ньютоновская жидкость помещена между двумя параллельными, бесконечными пластинами и одна из пластин движется с постоянной скоростью, то после достижения установившегося течения, сила на единице площади, приводящая в движение пластину, пропорциональна скорости движения пластины и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами.

Выражение слева представляет собой напряжение, которое определяется как сила, действующая на единицу площади в плоскости с нормалью y и в направлении z, т.е. yz. Далее так как профиль скорости линеен, то выражение справа представляет собой градиент скорости, т.е.

, где (2.1)

– коэффициент пропорциональности, вязкость^*5 материала. Выражение (2.1) есть ньютоновский закон вязкости для несжимаемых жидкостей в простом сдвиговом течении.

В общем случае ньютоновский закон течения:

, или

(2.2)

Неньютоновскими жидкостями называются все те жидкости, которые на различных основаниях не следуют ньютоновскому закону. В последние три десятилетия было применено много усилий для описания (создания) реологических законов, достаточно хорошо описывающих сложное поведение неньютоновских жидкостей.

Неньютоновский характер материала в теории экструзии и течении полимерных материалов в длинных трубах проявляются в нелинейной взаимосвязи напряжением сдвига и скорости сдвига.

Характер неньютоновской жидкости может быть проиллюстрирован следующим экспериментом. Представим длинную горизонтальную трубу длиной L и радиусом R, в которой скорость течения определяется как функция градиента давления. Тогда расход жидкости через поперечное сечение определяется:

Для неньютоновских жидкостей связь Q и нелинейна.

Все среды подразделяются на:

- ньютоновские;

- неньютоновские или аномально-вязкие;

А также подразделяются на:

- Вязкие;

- Вязко-упругие.

Аномально-вязкие среды подразделяются на:

1. псевдопластические;

2. дилатантные

К псевдопластическим средам относятся суспензии, содержащие асимметричные частицы, растворы и расплавы полимеров.

К дилатантным средам относятся суспензии с большим содержанием твёрдой фазы.

Математическое выражение связи напряжений и скоростей деформаций для ньютоновских жидкостей различны, многообразны и получены эмпирическим путём.

В кабельной промышленности, где для наложения полимеров, которые ведут себя как псевдопластические жидкости, наиболее распространённым реологическим законом является степенной закон. В общем случае закон течения для нелинейных сред:

, где

_э – эффективная вязкость, вся нелинейность – в ней.

– реологический степенной закон, где

₀ – коэффициент консистенции или начальная вязкость;

I₂ – второй инвариант тензора скоростей деформаций;

n – показатель аномалии.

Инвариант тензора – величина, не зависящая от выбора координат.

– первый инвариант тензора деформации;

– второй инвариант тензора деформации.

В декартовой системе координат I₂ равен:

Кроме того, что вязкость может быть функцией скорости сдвига, для всех материалов характерна её температурная зависимость, всегда ниспадающая.

1, 2, 3 – материалы с разной молекулярной массой. Математически эта зависимость может быть представлена двумя различными выражениями: Уравнение Аррениуса: Уравнение Рейнольдса: , где

A, B – характеристики материала;

U (иногда пишут E) – энергия активации;

k – постоянная Больцмана;

T – температура;

 – температурный коэффициент.

С учётом зависимости имеем реологическое уравнение:

Общая система дифференциальных уравнений.

Подставим реологическое уравнение жидкости в уравнение движения (для компоненты _x):

, (2.3)

В правой части уравнения (2.3) вместо  подставим уравнения (2.2), левую часть уравнения (2.3) заменим на А:

так как рассматриваем ньютоновскую жидкость, то =const, можно вынести за скобки:

т.к. , то

,

для несжимаемой среды:

Получим:

Записав и для других компонент:

(2.4)

Уравнения (2.4) – уравнения Навье-Стокса.

Итак, уравнения Навье-Стокса, уравнение неразрывности и энергии представляют полную систему дифференциальных уравнений описывающих движение и теплообмен ньютоновских жидкостей. Для ньютоновских жидкостей записываются уравнения движения, реологические уравнения, уравнения энергии, неразрывности и если нужно уравнение состояния.

В любом случае определяющая система дифференциальных уравнений будет полной тогда, когда сформулированы граничные и начальные условия. В этом случае говорят, что поставлена краевая задача.

Условия однозначности. Упрощающие предположения.

Выше приведённая система дифференциальных уравнений выведена на основе общих законов физики, то есть описывают процесс тепломассообмена в жидкой среде в общем случае. Поэтому можно сказать, что полученные уравнения описывают целый класс явлений. Чтобы из бесконечного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с системой дифференциальных уравнений дают полное математическое описание процесса движения и теплообмена, называются условием однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

1. геометрические условия;

2. физические условия;

3. начальные (временные) условия;

4. граничные условия.

1) В геометрических условиях задаются форма и размер канала, в которых протекает процесс;

2) В физических условиях определяются теплофизические (теплоемкость с, плотность , теплопроводность ) и реологические (коэффициент консистенции ₀, показатель аномалии n, температурный коэффициент) характеристики среды и материала, может быть задан закон распределения внутренних источников тепла, закон зависимости характеристик материала от температуры, координат;

3) Начальные условия (н.у.) необходимы при рассмотрении нестационарных (изменяющихся во времени) процессов и состоят задании распределения температуры, скоростей или напряжений в материале в начальный момент времени. В общем случае начальные условия аналитически может быть записано следующим образом:

При равномерном распределении температуры в теле и в состоянии покоя (без движения) начальное условие упрощается:

4) Граничные условия (ГУ) характеризуют взаимодействие среды с границами или стенками каналов. Задается искомая функция на границе. Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Существуют граничные условия I, II, III и IV родов.

В ГУ I рода задаётся значение функции на границах для каждого момента времени:

В частном случае, когда искомая функция (величина) на границе является постоянной, в любой момент времени, то ГУ упрощаются:

,

В ГУ II рода задаются значения производной функции

,

в частном случае:

ГУ III рода – условия, в которых задается комбинация функции и её производной.

Такого рода граничные условия наиболее характерны задачам теплопроводности и выражают закон Ньютона-Рихмана о теплопередаче:

ГУ IV рода возникает тогда, когда есть разнородные среды, когда определяется тепловой поток из одной среды в другую.

Разновидности граничных условий жидкость – твердое тело:

1. Условие прилипания – жидкость прилипает к любой твердой поверхности и имеет ту же скорость, что и твердая поверхность, т.е. относительной скорости не существует, она равна нулю. Следовательно у неподвижной стенки скорость равна нулю, а у подвижной материал имеет скорость стенки. Такие ГУ возникают при обычных режимах течения и переработки полимеров.

Экспериментальное подтверждение отсутствия проскальзывания полимерных расплавов при низких скоростях течения было дано Оттером. Он использовал для наблюдения некоторые частицы, введённые в расплав полиэтилена, и изучал условия течения вблизи стенки.

2. Проскальзывание на границе возникает в случае повышенных скоростей движения и очень часто при деструкции материала. Суть в том, что близлежащие слои не приобретают ту же скорость, что и подвижная стенка, а имеют некоторое свое значение скорости. Этот случай типичен, например, для расплавов ПЭВД.

3. Стик-слип. Возникает при течении вязко-упругих сред. Суть взаимодействия: выполнение то первого, то второго условия (то прилипания, то проскальзывания).

В начальный момент движения в вязкоупругой среде накапливается напряжение , которое при достижении некоторого критического значения преодолевают силы сцепления (адгезии) между жидкой средой и твердой стенкой и начинается процесс проскальзывания.

Во время проскальзывания происходит релаксация (уменьшение) напряжений и в какой то момент возникает условия прилипания.

Основные допущения.