Гипотеза об однородности рада вероятностей

Пусть Х_1, Х₂,…,Х_l - l генеральных совокупностей, каждая из которых характеризуется неизвестным параметром Р_i , где Р_i - вероятность появления события А в соответствующей выборке. Требуется на уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀: р₁= p₂ =… = p_l .

Для проверки гипотезы используется статистика

= , (3.30)

которая имеет асимптотическое распределение с ν= l-1 степенями свободы, l - число выборок;

где = - частость появления события А в i–ой выборке;

- частота появления события А в i–ой выборке;

- объем i–ой выборки;

= – частость появления события А во всех выборках;

=(1- ) – частость появления события , противоположного событию A, во всех выборках.

Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область, границу которой определяют из условия: P ( > (α; ν))= α. (3.31)

Если < - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если > - нулевую гипотезу отвергают.

Гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности

Проверка гипотез о виде законов распределения генеральной совокупности осуществляется с помощью критериев согласия.

Критерием согласия называется статистический критерий, предназначенный для проверки гипотезы Н₀ о том, что ряд наблюдений х₁, х₂,…х_n образует случайную выборку, извлеченную из генеральной совокупности Х с функцией распределения F(x)=F(x;θ₁; θ₂;… θ_k), где общий вид функции F(x) считается заданным, а параметры θ₁; θ₂;… θ_k , от которых она зависит могут быть, как известными, так и неизвестными. Критерии согласия основаны на использовании различных мер расстояний между анализируемой эмпирической функцией распределения F_n(x), определяемой по выборке, и функцией распределения F (x) генеральной совокупности Х.

Математически, нулевую гипотезу можно записать в следующем виде:

Н₀: ₌р_{1, =} р_{2, =} р_l,

- относительная частота i-го интервала вариационного ряда или i-го варианта, принимаемого случайной величиной Х;

р_l – вероятность попадания случайной величины в i-тый интервала или вероятность того, что дискретная величина примет i-тое значение (Х=х_i).

Критерий Пирсона (критерий - ) имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретической и эмпирической функций распределения.

Процедура проверки статистической гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия Пирсона состоит из следующих этапов.

1. Весь диапазон значений исследуемой случайной величины разбивается на ряд интервалов группирования Δ₁, Δ₂, …,Δ_l, необязательно одинаковой длины.

2. Подсчитывается число точек, попавших в каждый из интервалов группирования Δ_i .

3. На основе сгруппированных данных вычисляются оценки _k неизвестных параметров распределения θ _k.

4. Вычисляется вероятность р_i попадания случайной величины Х в каждый из интервалов группирования Δ_i.

5. Вычисляется наблюдаемое значение статистики критерия

= , (3.32)

сравнивается с табличным значением , найденным для уровня значимости α и числа степеней свободы ν = l-k-1, где l - число интервалов, k – число параметров, которыми определяется функция распределения.

Если , то гипотеза о том, что генеральная совокупность Х подчиняется закону распределения F (x) принимается.

В случае нормального закона распределения вероятность попадания случайной величины Х в соответствующие интервалы вычисляется по интегральной теореме Лапласа: р_i = Р(а_i<x<b_i) = , (3.33)

где t_1i =  , t_2i =  ; а_i ,b_i – нижняя и верхняя граница соответствующего интервала i.