Дисперсией случайной величины х называется число dx , равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания: . (1.4)

Если известен закон распределения случайной величины Х, то для дискретной и непрерывной случайных величин дисперсию можно вычислить соответственно по формулам: (1.5)

, (1.6)

где - плотность распределения случайной величины.

В качестве меры рассеивания случайной величины наряду с дисперсией используют среднеквадратическое отклонение , равное квадратному корню из дисперсии случайной величины: = . (1.7)

Среднеквадратическое отклонение случайной величины выражается в тех же единицах, что и сама случайная величина и ее математическое ожидание.

Приведем без доказательств основные свойства дисперсии. Свойства среднеквадратического отклонения непосредственно вытекают из соответствующих свойств дисперсии.

1. Дисперсия постоянной с равна нулю: D(c)=0.

2) Дисперсия произведения случайной величины Х на постоянную с равна произведению дисперсии случайной величины Х на квадрат постоянной: .

3. Если случайные величины X иY независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий: .

4) Дисперсия случайной величины Х не изменится, если к ней прибавить постоянную с, т.е. .

Моменты случайной величины обобщают понятия математического ожидания и дисперсии.

Моментом k – порядка называется математическое ожидание k –й степени отклонения случайной величины Х от некоторой постоянной с.

Если в качестве с берется нуль, моменты называют начальными, то есть

. (1.8)

Если с=М(Х), то моменты называются центральными, то есть

. (1.9)

Таким образом, математическое ожидание – ни что иное, как первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный момент.

Существует формула, связывающая центральные моменты с начальными:

. (1.10)

Для первых четырех моментов эта формула дает следующие равенства:

(1.11)

Формула может быть использована для нахождения дисперсии случайной величины: (1.12)

В теории и практических приложениях используют две числовые характеристики случайной величины, основанные на центральных моментах третьего и четвертого порядков соответственно – коэффициент асимметрии и эксцесс . Данные коэффициенты дают представление о форме плотности распределения или многоугольника распределения.

Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число, равное отношению третьего центрального момента к кубу среднеквадратического отклонения случайной величины Х: (1.13)

Коэффициент асимметрии случайной величины, закон распределения которой симметричен относительно математического ожидания, равен нулю, поскольку в этом случае . Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» распределения расположена справа от центра группирования, то >0 и асимметрию называют положительной, если же «длинная часть» расположена слева, то <0 и асимметрию называют отрицательной.

В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью используют понятие эксцесса. Эксцессом случайной величины Х называется число, равное разности отношения четвертого центрального момента к четвертой степени среднеквадратического отклонения случайной величины и числа 3:

(1.14)

Эксцесс нормального закона распределения вероятностей равен нулю. Если распределение вероятностей случайной величины Х одномодально и плотность распределения более «островершинна», чем плотность распределения нормальной случайной величины с той же дисперсией, то >0, если же менее «островершинна» и более «сглажена» по сравнению с плотностью соответствующего нормального распределения, то <0.

В математической статистике широко используются понятия q-квантилей и Q-процентных точек распределения F(x).

Квантилью уровня q (или q-квантилью) непрерывной случайной величины Х, обладающей непрерывной функцией распределения F(x), называется такое возможное значение этой случайной величины, для которого вероятность события Х < равна заданной величине q, т.е. . (1.15)

Очевидно, чем больше заданное значение q (0<q<1), тем больше будет и соответствующая величина квантили . Частным случаем квантили - 0.5 –квантилью является характеристика центра группирования - медиана.

Для дискретной случайной величины функция q-квантиль определяется как любое число , лежащее между двумя значениями и , такими, что < q, но q.

Под Q-процентной точкой (0< Q<100) случайной величины Х понимается такое ее возможное значение , для которого вероятность события Х , равна Q/100:

. (1.16)

Для дискретной случайной величины это определение корректируется аналогично тому, как это делалось при определении квантилей.

Между квантилями и процентами точками существует следующее соотношение: .

Нормальное распределение (закон Гаусса) занимает центральное место в теории и практике статистических исследований. Распределение задается плотностью:

, (1.17)

где - математическое ожидание; - среднеквадратическое отклонение.

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку , и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением кривая становится более вытянутой по отношению к прямой . Изменение при постоянном не меняет формы кривой, а вызывает лишь ее смещение вдоль оси абсцисс. Таким образом, нормальное распределение зависит от двух параметров: и . Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, равна единице. Коэффициент асимметрии и эксцесс равны нулю.

Логарифмически-нормальное распределение (логнормальное распределение) – распределение положительной случайной величины, логарифм которой распределен по нормальному закону. Таким образом, если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то случайная величина имеет логнормальное распределение. Распределение является асимметричным.

Плотность вероятности задается следующим выражением:

. (1.18)

Математическое ожидание и дисперсия определяются по следующим формулам:

; (1.19)

, (1.20)

где - математическое ожидание Х; - среднеквадратическое отклонение Х.

Биномиальное распределение – распределение вероятностей дискретной случайной величины X=m, принимающей значение 0,1,2,…, n и задаваемой функцией вероятностей :

, (1.20)

где - вероятность появления события А m раз в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с одно и той же вероятностью p и не появляется с вероятностью ;

- число сочетаний из n по m.

Параметрами распределения являются величины n и р. Математическое ожидание и дисперсия задаются следующим образом:

(1.21)

Равномерное распределение – распределение вероятностей непрерывной случайной величины на каком-либо отрезке , где , имеющее плотность:

при (1.22)

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:

(1.23)