Вариант 40

Задача 1. На сахарном заводе один из цехов производит рафинад. Контроль качества обнаружил, что один из ста кусочков сахара разбит. Если Вы случайным образом извлекаете два кусочка сахара, то чему равна вероятность того, что, по крайней мере, один из них будет разбит? (Предполагаем независимость событий, это предположение справедливо вследствие случайности отбора).

Задача 2. Детали для обработки поступают из двух заготовительных цехов: из первого цеха – 70%, из второго – 30%, причем продукция первого цеха имеет 10% брака, а продукция второго цеха – 20% брака. Какова вероятность того, что случайно взятая деталь будет без дефектов?

Задача 3. Число яхт, сходящих со стапелей маленькой верфи – случай­ная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
P(X)=pi	0,20	0,20	0,30	0,10	0,10	0,05	0,05

Чему равна ожидаемая средняя сумма заработка конструктора яхты, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 условных денежных единиц плюс 5000 условных денежных единиц за каждую сошедшую со стапелей яхту?

Задача 4. Служащий рекламного агентства утверждает, что время, в течение которого телезрители помнят содержание коммерческого рекламного ролика, подчиняется экспоненциальному закону с λ=0,25 дня. Найдите долю зрителей, способных вспомнить рекламу спустя 7 дней?

Задача 5. При сборе урожая ананасов оказалось, что средний вес плода равен 650 г. Применяя неравенство Маркова, оцените вероятность того, что наудачу взятый плод имеет массу не более 750 г.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вопросы к экзамену по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Модуль «Теория вероятностей»

1. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей. Теория вероятностей. Вероятность. Основная задача теории вероятностей. Испытание. Событие. Классификация событий.

2. Классическое определение вероятности. Субъективная вероятность. Статистическая вероятность. Свойства вероятности.

3. Основные теоремы теории вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы событий.

4. Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

5. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий в совокупности.

6. Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

7. Формула полной вероятности. Гипотезы.

8. Формула Бейеса. Вычисление вероятности гипотез.

9. Случайные величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Ряд распределения. Полигон распределения.

10. Функция распределения (интегральная функция распределения).

11. Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами.

12. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Свойства математического ожидания.

13. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.

14. Законы распределения дискретных случайных величин. Схема повторных испытаний. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Биномиальные вероятности.

15. Математическое ожидание, дисперсия и график биномиального распределения.

16. Распределение Пуассона (закон распределения редких событий). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона.

17. Гипергеометрическое распределение.

18. Производящая функция.

19. Мультиномиальное распределение.

20. Геометрическое распределение.

21. Непрерывная случайная величина. Функция распределения непрерывной случайной величины. Свойства функции распределения.

22. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения вероятностей. Свойства дифференциальной функции распределения.

23. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение. Начальный и центральный моменты k-го порядка. Коэффициент асимметрии. Неприведенный коэффициент эксцесса. Квантиль уровня p. Медиана. Мода.

24. Нормальное распределение. Характеристики нормального распределения.

25. Стандартное (нормированное) нормальное распределение. Свойства стандартного нормального распределения.

26. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Интегральная функция Лапласа–Гаусса и ее свойства. Связь нормальной функции распределения с интегральной функцией Лапласа–Гаусса. Функция Лапласа. Свойства функции Лапласа.

27. Правило «трех сигм».

28. Понятие о теоремах, относящихся к группе «центральной предельной теоремы». Теорема П. Леви. Теорема Ляпунова.

29. Экспоненциальное (показательное) распределение.

30. Закон равномерного распределения (равномерной плотности).

31. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел.

32. Неравенства Маркова и Чебышева.

33. Теорема Чебышева (частный случай).

34. Теорема Бернулли.

35. Теорема Пуассона.