Контрольные задания по курсу теории вероятностей Вариант 1

Задача 1. Уличный торговец предлагает прохожим иллюстрированную книгу. Из предыдущего опыта ему известно, что в среднем один из 65 прохожих, которым он предлагает книгу, покупает ее. В течение некоторого промежутка времени он предложил книгу 20 прохожим. Чему равна вероятность того, что он продаст хотя бы одну книгу? Прокомментируйте предположения, которые вы использовали при решении задачи.

Задача 2. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04, в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

Задача 3. Строительная инвестиционная компания в настоящий момент продает акции по 16 условных денежных единиц за штуку. Инвестор планирует покупку пакета акций и предполагает хранение их в течение года. Пусть X – случайная величина, означающая цену одной акции спустя год. Ряд распределения дан в таблице:

Цена акции (х)	Р(Х)
16	0,35
17	0,25
18	0,25
19	0,10
20	0,05

1. Показать, что заданное распределение обладает всеми свойствами ряда распределения.

2. Чему равно ожидаемое среднее значение цены акции спустя один год?

3. Чему равен ожидаемый средний выигрыш от акции, спустя год? Чему равен процент возврата инвестиций, отражаемый этим ожидаемым значением?

4. Определите дисперсию цены акции спустя год.

5. Другая акция с одинаковым ожидаемым значением возврата инвестиций имеет дисперсию, равную 3. Какая из акций лучше в смысле минимизации риска или неопределенности, ассоциируемой с инвестициями? Объясните.

Задача 4. Найдите следующие вероятности для нормального стандартного распределения:

а) Р(-1<Z<1);

б)P(-1,96<Z<1,96);

в)P(-2,33<Z<2,33);

г) Р(Z<2,58);

д)P(-3<Z<3).

Задача 5. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оцените вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.

Вариант 2

Задача 1. Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим телевидением, рекламирующим две новые модели автомобилей фирмы; 34% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что 10% населения слушает и радио и телерекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему будет равна вероятность того, что он знаком, по крайней мере, хотя бы с одной из рекламных передач фирмы?

Задача 2. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если Председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?

Задача 3. Некоторое предприятие планирует реконструкцию и расширение производства для выпуска новой продукции. Руководство предприятия должно определить стратегию реконструкции и выбрать один из двух проектов, предусматривающих большие и умеренные капитальные вложения. Неопределенность заключается в том, что спрос на новую продукцию, которую собирается выпускать предприятие, неизвестен. Будущий спрос может быть низким, умеренным и высоким. Вероятности спроса оцениваются как 0,20, 0,50 и 0,30 соответственно. Пусть X означает ежегодный доход 1000 условных денежных единиц. Предприятие планирует следующий доход для проектов с большими и умеренными капитальными вложениями:

Доход при значительных вложениях		Доход при умеренных вложениях
Спрос, x	P(x)	Спрос, x	P(x)
0	0,20	50	0,20
100	0,50	150	0,50
300	0,30	200	0,30

1. Вычислите ожидаемое среднее значение дохода при альтернативных типах реконструкции предприятия. Какое решение предпочтительнее для максимизации ожидаемого дохода?

2. Вычислите дисперсию дохода для двух альтернативных проектов. Какое решение Вы предпочтете для минимизации риска и неопределенности?

Задача 4. Найдите вероятность того, что стандартная нормально распределенная случайная величина будет иметь значения между -2 и 1.

Задача 5. Средняя масса клубня картофеля равна 100 г. Применяя неравенство Маркова, оцените вероятность того, что наудачу взятый клубень имеет массу не более 300 г.

Задача 6. Составьте задачу по изученному материалу курса теории вероятностей, используя предметную область экономики. Решите задачу и приведите пояснения.