
- •Авторы-составители:
- •1.Цели и задачи дисциплины
- •1). Цель, задачи, структура дисциплины и ее место в учебном процессе.
- •Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •Объем дисциплины Объем дисциплины и виды учебной работы Распределение часов по темам и видам учебной работы
- •4. Содержание курса
- •1. Основные понятия, определения и теоремы теории вероятностей* Введение
- •1.1. Алгебра событий. Основые понятия теории множеств
- •1.2. Основные определения: испытание, событие. Классификация событий
- •1.3. Классическое определение вероятности. Свойства, вытекающие из этого определения
- •Значение вероятности
- •1.4. Основные теоремы теории вероятностей
- •1.5. Зависимые и независимые события
- •2. Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •2.1. Формула полной вероятности
- •3. Случайные величины
- •3.1. Дискретные случайные величины
- •Ряд распределения случайной величины X
- •3.4. Ожидаемое среднее значение дискретной случайной величины
- •Вычисление математического ожидания числа рекламных
- •3.5. Свойства математического ожидания случайной дискретной величины
- •Возможные исходы лотереи
- •3.6. Ожидаемое среднее значение функции случайной величины
- •Ряд распределения числа месячных продаж
- •К вычислению среднего ожидаемого значения
- •3.7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •К вычислению дисперсии случайной величины
- •3.9. Дисперсия линейной функции случайной величины
- •4. Законы распределения дискретных случайных величин
- •Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
- •4.3. Биномиальный закон распределения
- •Биномиальное распределение
- •Биномиальное распределение X – числа гербов, появляющихся
- •Фрагмент таблиц ряда и функции биномиального распределения
- •Биномиальное распределение числа покупателей
- •Распределения
- •4.5. Распределение Пуассона
- •Закон распределения Пуассона
- •Сравнение вероятностей, полученных по формулам Бернулли и Пуассона
- •4.6. Гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрический закон распределения
- •Биномиальный закон распределения
- •Гипергеометрическое распределение
- •4.7. Производящая функция
- •4.8. Мультиномиальное распределение
- •4.9. Геометрическое распределение
- •5. Непрерывные случайные величины
- •6. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •7. Закон больших чисел
- •7.1. Принцип практической уверенности. Формулировка закона больших чисел
- •7.2. Неравенства Маркова и Чебышева
- •Выражения (7.1–7.2) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.
- •7.4. Теорема Бернулли
- •7.5. Теорема Пуассона
- •Контрольные задания по курсу теории вероятностей Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 31
- •Вариант 32
- •Вариант 33
- •Вариант 34
- •Вариант 35
- •Вариант 36
- •Вариант 37
- •Вариант 38
- •Вариант 39
- •Вариант 40
- •Математическая статистика Теория вероятностей и математическая статистика – основной инструментарий для прикладной статистики
- •Дисперсией случайной величины х называется число dx , равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания: . (1.4)
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Статистическое оценивание
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Тема 3. Статистическая проверка гипотез
- •Общая логическая схема статистического критерия.
- •Проверка гипотезы о значении генеральной средней
- •Проверка гипотезы о значении дисперсии генеральной совокупности
- •Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события
- •Гипотеза об однородности рада вероятностей
- •Гипотезы о виде законов распределения генеральной совокупности
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Тема 4. Методика статистического анализа количественных и качественных показателей
- •Контрольные вопросы и задачи
- •Тема 5. Многомерные статистические методы
- •Темы практических и семинарских занятий, тематических дискуссий
- •Задания для самостоятельной работы студентов
- •1.Методы анализов рядов динамики. Особенности моделирования рядов динамики с помощью корреляционного - регрессионного анализа
- •2. Понятие о закономерности распределения. Изучение формы распределения
- •3. Матрицы и таблицы сопряженности
- •4.Понятие о статистическом графике. Элементы статистического графика
- •5. Классификация видов графика: диаграммы сравнения, структурные диаграммы и диаграммы динамиков. Статистические карты
- •6. Условия типичности средних величин
- •7. Понятие малой выборки и методы расчета ее средней ошибки
- •8. Основные направления применения выборочного наблюдения в социально-экономических исследованиях
- •9. Взаимосвязи социально-экономических явлений и процессов, задачи их статического изучения.
- •10. Роль качественного анализа в исследовании связей
- •11. Основные статистические методы изучения связей в торговле и сфере услуг: метод параллельных данных, метод аналитических группировок, графический метод, балансовый метод.
- •12.Применение дисперсионного анализа в экономико-статистических исследованиях
- •13. Регрессионное уравнение как форма аналитического выражения статистических связей
- •14. Способы отбора факторных признаков при построении регрессионных моделей
- •15. Оценка результатов корреляционно-регрессионного анализа
- •7.Темы курсовых/контрольных работ/рефератов Варианты контрольных работ для студентов заочной формы обучения всех специальностей Вариант первый
- •Вариант второй
- •Вариант третий
- •Вариант четвертый
- •Вариант пятый
- •Вариант шестой
- •Вариант седьмой
- •Учебно-методическое обеспечение Литература:
- •16. Елисеева и.И., Юзбашев м.М. – Общая теория статистики. Учебник - м.: Финансы и статистика, 2005. Материально-техническое и информационное обеспечение дисциплин
7.2. Неравенства Маркова и Чебышева
Доказательство закона больших чисел основано на неравенстве Чебышева. Неравенство Маркова в литературе иногда называется леммой Маркова или леммой Чебышева, так как оно является частным случаем неравенства Чебышева.
Лемма Маркова. Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа α справедливо неравенство
P(Х ≥ α ) ≤ М(Х/α). (7.1)
События Х < α и Х ≥ α – противоположные, поэтому, используя (7.1), получаем
Р(Х < α ) = 1–Р(Х ≥ α ) ≥ 1– М(Х)/α . (7.2)
Выражения (7.1–7.2) справедливы для дискретных и непрерывных случайных величин.
Пример 7.1. Дана случайная величина X:
Xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
Pi |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
0,15 |
0,15 |
0,15 |
Пользуясь неравенством Маркова, оценим вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее 11.
Решение. Исходя из условия, будем рассуждать так:
(Х < 11) = Р(X = 2) + Р(Х = 4)+ Р(Х = 6) + Р(Х = 8)+Р(Х = 10) =
= 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,15 + 0,15 = 0,85.
Используя неравенство Маркова (7.2), получаем
Р(Х < 11) ≥1 – М(Х)/11 = 1–(2·0,1 + 4·0,2 + 6·0,25 + 8·0,15 + 10·0,15 +
+ 12·0,15)/11 = 1– (0,2 + 0,8 + 1,5 + 1,2 + 1,8)/11 = 1 – 7/11 =
= 1 – 0,636 = 0,364. Р(Х < 11) ≥ 0,364.
Пример 7.2. Сумма всех вкладов в некоторой сберегательной кассе составляет 20 000 000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад меньше 100 000, равна 0,8. Определим число вкладчиков сберегательной кассы.
Решение. Пусть X – величина случайно взятого вклада, а n – число всех вкладчиков. Тогда из условия задачи следует, что М(Х) = = 20 000 000/n; Р(X < 100 000) = 0,8, и по неравенству Маркова Р(X < < 100 000) ≥ 1– М(Х)/100 000.
Таким образом, 0,8 ≥ 1 – 20 000 000 / (n·100 000); 20 000 000 / / (n·100 000) ≥ 0,2; 200 ≥ n·0,2; n ≤ 1000.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение X от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше данного положительного числа ε, ограничена снизу величиной
1–D(X)/ε2, т.е. Р(|X – M(X)|< ε) ≥ 1–D(X)/ε2. (7.3)
Из (7.3) переходом к противоположному событию можно получить:
Р(|X–M(X) | ≥ ε) ≤ D(X)/ε2. (7.4)
Пример 7.3. Вероятность наступления некоторого события р = 0,3 в каждом из n = 900 независимых испытаний. Используя неравенство Чебышева, оценим вероятность того, что событие повторится число раз, заключенное в пределах от m1 = 240 до m2 = 300.
Решение. Здесь по условиям задачи имеет место биномиальный эксперимент. Следовательно, М(X) = а = пр = 900∙0,3 = 270;
ε = |240–270| = |300–270| = 30; D(X) = npq = 900∙0,3∙0,7 = 189;
Р(|X–270| < 30) ≥ 1 – D(X)/ε2 = 1–189/302 = 1–0,21 = 0,79,
т.е. Р(|X–270| < 30 ≥ 0,79.
7.3. Теорема Чебышева (частный случай)
Теорема
устанавливает в количественной форме
связь между средней арифметической
наблюдаемых
значений случайной величины X
и М(X)
= а.
Теорема. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаний средняя арифметическая наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е. для любого положительного ε
Р(|
–
а|
<
ε)
= 1.
(7.5)
Смысл выражения « сходится по вероятности к a» состоит в вероятности того, что будет сколь угодно мало отличаться от a, неограниченно приближаясь к 1 с ростом n. Для конечного n
Р(| – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)/(n∙ε2). (7.6)
Если в (7.6) взять сколь угодно малое ε >0 и n , то
что и доказывает теорему Чебышева.
Из рассмотренной теоремы вытекает важный практический вывод. Он состоит в том, что неизвестное нам значение математического ожидания случайной величины мы вправе заменить средним арифметическим значением, полученным по достаточно большому числу опытов. При этом чем больше опытов для вычисления, тем с большей вероятностью (надежностью) можно ожидать, что связанная с этой заменой ошибка ( – а) не превзойдет заданную величину ε.
Кроме того, можно решать другие практические задачи. Например, по значениям вероятности (надежности) Р = Р(| – а|< ε и максимальной допустимой ошибке ε, определить необходимое число опытов n; по Р и п определить ε; по ε и п определить границу вероятности события | –а|<ε.
Пример 7.4. Дисперсия случайной величины X равна 4. Опредеим, сколько потребуется произвести независимых опытов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно было ожидать, что среднее арифметическое значение этой случайной величины будет отличаться от математического ожидания менее чем на 0,5?
Решение. По условию задачи ε = 0,5; Р(| – а| < 0,5) ≥ 0,9; n = ? Применив формулу (7.6), получим P(| – M(X)| < ε) ≥ ≥ 1–D(X)/(n∙ε2). Из соотношения 1–D(X)/(nε2) = 0.9 определяем п = D(X)/(0,1ε2) = 4/(0,1∙0,25) = 160.
Если использовать утверждение, что в любом случае средняя арифметическая распределена примерно нормально, то получаем:
Р(|
–а|<
ε) = 2Φ0(
≥
0,9.
Откуда,
воспользовавшись таблицей интеграла
вероятностей, получим
≥
1,645,
или
≥ 6,58, т. е.
n ≥
49.
Пример 7.5. Дисперсия случайной величины D(X) = 5. Произведено 100 независимых опытов, по которым вычислено . Вместо неизвестного значения математического ожидания а принята . Определим максимальную величину ошибки, допускаемой при этом, с вероятностью не менее 0,8.
Решение. По условию n = 100, Р(| – а|< ε) ≥ 0,8. ε = ? Применяем формулу (7.6)
Р(| -а|< ε) ≥ 1–D(X)/(nε2).
Из соотношения 1–D(X)/(nε2) = 0,8 определяем ε
ε2 = D(X)/(0,2∙n) = 5/(0,2∙100) = 0,25; ε = 0,5.