4.7. Производящая функция

Выше были рассмотрены способы определения вероятности Р_n,m для случаев, когда вероятность события А во всех п независимых испытаниях одна и та же. На практике приходится встречаться и с такими случаями, когда вероятность наступления события А от испытания к испытанию меняется.

Пример 4.14. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы (за время t) первого элемента равна 0,9, второго – 0,8 и третьего – 0,7. Составим закон распределения числа элементов, вышедших из строя.

Пусть проведено два независимых испытания. Вероятность появления события А в первом из них – p₁, во втором – р₂; вероятности непоявления события А соответственно равны q₁ = 1– p₁; q₂ = 1– р₂. Требуется определить вероятности P_2,0, P_2,1, P_2,2, т. е. вероятности появления события А ровно 0 раз, ровно 1 раз и ровно 2 раза в двух независимых испытаниях.

Решение. Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим: P_2,0 = q₁q₂; P_2,1 = p₁q₂ + q₁p₂; P_2,2 = p₁p ₂. Пусть теперь проведено три независимых испытания с вероятностями появления события А: p₁, p₂, p₃. Вероятности непоявления события А в первом, во втором и третьем опытах соответственно равны q₁ = 1– p₁, q₂ = 1– р₂, q₃ = 1– р₃. Определим вероятности P_3,0, P_3,1, P_3,2, P_3,3, т.е. вероятности появления события А ровно 0 раз, ровно 1 раз, ровно 2 раза и ровно 3 раза в трех независимых испытаниях.

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей для независимых событий, получим: P_3,0 = q₁q₂ q₃; P_3,1 = p₁q₂q₃ + q₁p₂q₃ + q₁q₂p₃; P_3,2 = p₁p₂q₃ + p₁q₂p₃ + + q₁p₂p₃; P_3,3 = p₁p₂p₃.

Эти вероятности можно получить, если перемножить три бинома

и привести подобные члены. Тогда коэффициенты при z^m будут соответствовать вероятностям P_3,m(m = = 0, 1, 2, 3). Здесь z произвольный параметр. Для n независимых испытаний получим

·

Выражение обозначают

и называют производящей функцией.

4.8. Мультиномиальное распределение

Напомним, что в биномиальном эксперименте мы классифицируем исходы как успехи и неуспехи. Если обобщить ситуацию, то исходы можно классифицировать более чем по двум категориям. Предположим, есть k категорий исходов: «покупка товара А», «покупка товара В», «покупка товара К». Обозначим Х₁ – число проданных единиц товара A, Х₂ – число проданных единиц товара В,...., Х_k – число проданных единиц товара К. Вероятностное распределение Х₁, Х₂,..., Х_k в выборке объемом п есть мультиномиальное распределение с параметрами п и вероятностями р₁, р₂,…, р_k, где р_i – вероятность появления категории i (р_i = 1 – q_i), и они остаются неизменными от испытания к испытанию и испытания независимы.

Формула мультиноминального распределения имеет следующий вид:

P(Х₁, Х₂,., Х_k) = n!/(Х₁! Х₂! ...∙Х_k!)∙р₁^x1∙р₂^x2 ·…∙р_k^xk. (4.17)

Пример 4.15. Предположим, что из общего числа семей, живущих на данной территории, 25 % имеют душевые доходы ниже прожиточного минимума (черты бедности), 35 % имеют доходы, равные среднедушевым доходам, у 20 % доходы в полтора раза выше средних, а у остальных 20 % семей доходы в два и более раза превышают средний душевой доход для данной территории. Пусть А₁ – случайное событие, состоящее в случайном отборе семьи, которая принадлежит к первой группе. А₂, А₃ и А₄ – аналогичные события, состоящие в случайном отборе семей, которые принадлежат соответственно ко второй, третьей и четвертой доходным группам.

По условию p₁ = 0,25; р₂ = 0,35; р₃ = 0,20; р₄ = 0,20. Предположим, что для целей обследования необходимо провести случайный повторный отбор 50 семей для обследования уровня жизни населения. Определим вероятность того, что все отобранные семьи будут бедными (с доходом ниже прожиточного минимума).

Решение. По формуле (4.17) имеем: P(Х₁ = 50, Х₂ = 0, Х₃ = 0, Х₄ = 0) = 50!/(50!∙0!∙0!∙0!)∙0,25⁵⁰∙0,35⁰∙0,20⁰∙0,20⁰ = 0,25⁵⁰ ≈ 0.