Сравнение вероятностей, полученных по формулам Бернулли и Пуассона

m	0	1	2	3	4	5	6
Рn,m=Cnmpmqn–m	0,778	0,196	0,024	0,002	0,000	0,000	0,000
	0,779	0,195	0,022	0,001	0,000	0,000	0,000
|∆|	0,001	0,001	0,002	0,001	0,000	0,000	0,000

Сопоставление вероятностей показывает, что рассчитанные по формуле Пуассона вероятности почти совпадают с их значениями, вычисленными по формуле Бернулли. Максимальная погрешность результатов, вычисленных по формуле Пуассона, равна 0,002.

4.6. Гипергеометрическое распределение

Выше мы рассмотрели способы вычисления вероятностей появления события ровно т раз в п независимых повторных испытаниях (по формулам Бернулли и Пуассона). Теперь познакомимся с вычислением вероятности появления события ровно т раз в п зависимых повторных испытаниях. Случайная величина, определяющая число успехов в п повторных зависимых испытаниях, подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Пример 4.9. В урне N шаров, среди которых К белых и (N–K) черных. Без возвращения извлечены п шаров. Определим вероятность того, что в выборке из п шаров окажется т белых (и соответственно n–m черных) шаров. Изобразим ситуацию на схеме:

Случайная величина, интересующая нас, X = т – число белых шаров в выборке объемом в п шаров. Число всех возможных случаев отбора п шаров из N равно числу сочетаний из N по n (C_Nⁿ), а число случаев отбора т белых шаров из имеющихся К белых шаров (и значит, п–m черных шаров из N–K имеющихся черных) равно произведению C_K^mC_N–K^n–m (отбор каждого из т белых шаров может сочетаться с отбором любого из n–т черных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из п шаров окажется ровно т белых шаров. По формуле для вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке т белых шаров (т. е. вероятность того, что случайная величина X примет значение т) равна

, (4.14)

где C_Nⁿ – обшее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов, C_K^mC_N–K^n–m – число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию.

Итак, вероятность появления интересующего нас события ровно т раз в п зависимых испытаниях вычисляется по формуле (4.14), которая задает значения гипергеометрического закона распределения для т = 0, 1, 2,..., п (табл. 4.8).

Таблица 4.8

Гипергеометрический закон распределения

т	0	1	2	…	n
Р(X=m)	CK0CN–k n/ CNn	CK1CN–Kn–1/ CNn	CK2CN–Kn–2/ CNn	…	CKmCN–K0/ CNn

M(т) = n, (4.15)

D(m) = n (1–)[1– (n–1)/(N–1)], (4.16)

где  – доля единиц с интересующим нас признаком в совокупности N, т. е.  = K/N, а 1–(n–1)/(N–1) называется поправкой для бесповторной выборки.

Пример 4.10. Разыгрывается тираж выигрышного денежного займа, в котором выпушено N облигаций, из которых К – выигрышные. Некто приобрел п облигаций. Найдем вероятность того, что т из них – выигрышные.

Рассуждая в соответствии с изложенной схемой, по формуле (4.14) получим интересующую покупателя облигаций вероятность выигрыша.

Пример 4.11. Автомобили поступают в торговый салон с завода партиями по 10 штук. По соглашению сторон для экономии времени и ресурсов в торговом салоне подвергаются контролю качества и безопасности только 5 из 10 поступающих автомобилей. Обычно 2 из 10 поступивших машин не удовлетворяют стандартам качества. Определим, чему равна вероятность того, что хотя бы одна из 5 проверяемых машин будет забракована.

Решение. Здесь имеет место выборка без возвращения, следовательно, случайная величина – число бракованных автомобилей – подчиняется гипергеометрическому распределению: N = 10, К = 2, N–К = 8 и n = 5, т = 1, 2.

10

Р_10,1 = C₂¹C₈⁴/C₁₀⁵ = 0,5556,

2 5 8

Р_10,2 = C₂²C₈³/C₁₀⁵ = 0,2222.

1 4

2 3

Р_10,1+P_10,2 = 0,5556 + 0,2222 = 0,7778.

Пример 4.12. На станцию под погрузку поступило 20 вагонов, среди которых один с дефектом. Из них случайным образом отобраны 2 вагона. Требуется:

1) построить закон распределения числа вагонов с дефектом;

2) построить биномиальное распределение, приняв в качестве постоянной вероятности р = 0,05, а числа испытаний – n = 2.

Решение:

1. По условию задачи N = 20, К = 1, п = 2. Случайная величина – число вагонов с дефектом т может принимать два значения; 0 и 1. По формуле (4.14) вычислим вероятности этих значений: P_2,0 = C₁⁰C₁₉²/ /C₂₀² = 0,9000; P_2,1=C₁¹C₁₉¹/C₂₀¹ = 0,1000. Полученные результаты сведем в табл. 4.9, что и будет гипергеометрическим законом распределения т.

Таблица 4.9