Формула Бернулли. Биномиальные вероятности
Вычислим вероятности значений случайной величины, подчиняющиеся закону биномиального распределения.
При четырех подбрасываниях монеты случайная величина X, определяющая число выпадений герба, принимает возможные значения Xi = 0; 1; 2; 3; 4. Рассмотрим определенное событие, когда X = 2. Это событие состоит в том, что при четырех подбрасываниях монеты 2 раза выпадет герб. Определим вероятность Р(Х = 2). Для этого подсчитаем, сколькими способами может осуществиться данное подбрасывание.
При четырех бросаниях монеты герб появится два раза в одной из следующих шести последовательностей: ГГЦЦ, ГЦГЦ, ГЦЦГ, ЦГГЦ, ЦГЦГ, ЦЦГГ. Исходя из независимости четырех испытаний вероятность определенной последовательности, скажем ЦЦГГ, есть ppqq. Порядок появления цифры или герба не влияет на вероятность. Вероятность р2q2 – вероятность для любой из шести перечисленных комбинаций. Поскольку все шесть возможных комбинаций ведут к событию Х = 2, то умножим результат на шесть и получим 6р2q2. Для идеальной монеты р = q = 0,5; отсюда P(X = 2) = 6(0,5)4 = 0,375. Точно так же можно вычислить другие вероятности Р(Х = 0), Р(Х = 1), Р(Х = 3), Р(Х = 4). процедуру вычисления вероятности появлений некоторого события точно т раз в n последовательных испытаниях, удовлетворяющую условиям повторных испытаний, удобнее обобщить при помощи специальной формулы. Отметим следующее
1. Вероятность любой заданной последовательности, в которой событие появляется т раз и в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р и с вероятностью неуспеха q, равна pmqn–m. Заметим, что для опыта с подбрасыванием монеты при р = q = = 0,5, n = 4 и т = 2, получим P(X = 2) = (0,5)2(0,5)2 = (0,5)4.
2. Число различных комбинаций в испытаниях, в результате которых наступит точно т успехов, равно числу сочетаний из n элементов по т элементов в каждом Сnm = Anm/Pm = n!/[m!(n–m)!].
Для примера 4.1 с подбрасыванием монеты Сnm = 4∙3/(1∙2) = 6. Этот результат совпадает с полученным путем непосредственного подсчета.
3. Поскольку существует Сnm комбинаций и каждая комбинация имеет вероятность рmqn-m, то вероятность т успехов в n испытаниях есть результат двух описанных выше действий. Будем использовать символ Рп,т для обозначения вероятности Р(Х = т) в n испытаниях с вероятностью успеха в каждом отдельном испытании р:
Р(Х
= т)
=
Рп,т
=
Сnmрmqn-m
=
(4.1)
где q = 1– p; n – число испытаний; m – число успешных испытаний, а формула (4.1) называется формулой Бернулли.
4.3. Биномиальный закон распределения
В формуле (4.1) т может принимать значения от 0 до n. Подставим m = 0; 1; 2; ...; n в формулу (4.1):
(q + p)п = qn + nрqn–1 + Сn2р2qп–2 +...+ Сnk рkqп–k +…+ nрn–1q + рn. (4.2)
Так как (q + р) = 1, то Рn,0 + Рп,1 +...+ Рп,m = 1 (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Биномиальное распределение
-
Число успехов, m
Вероятность, P(n, m)
0
Сn0 р0qп
1
Сn1 р1qп–1
2
Сn2 р2qп--2
3
Сn3 р3qп–3
…
…
k
Сnk рkqп–k
…
…
n
Сnn рnq0
1,00
В табл. 4.2 представлены биномиальные вероятности случайной величины X для примера 4.1, рассчитанные при помощи формулы (4.1).
Таблица 4.2