К вычислению дисперсии случайной величины

x	P(x)	хР(х)	х2Р(х)
0 1 2 3 4 5	0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1	0,0 0,2 0,6 0,6 0,4 0,5	0,0 0,2 1,2 1,8 1,6 2,5
	1,0	М(X) = 2,3	М(X2) = 7,3

Чтобы получить дисперсию X, вычислим разность M(X²) – [М(Х)]²:

D(X) = M(X²) – [М(Х)]² = 7.3 – (2,3)² = 2,01.

Результат совпал с полученным при помощи формулы (3.8).

Среднее квадратическое отклонение (стандартное) отклонение дискретной случайной величины равно корню квадратному из дисперсии

. (3.12)

Для примера 3.1 среднее квадратическое отклонение

В чем смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения? Как можно интерпретировать их значения? По определению σ² – средний квадрат отклонения значений случайной величины от математического ожидания. Отсюда следует, что это мера рассеяния всех возможных значений случайной величины относительно среднего ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость, изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно применять значение, которое дает корень квадратный из дисперсии – среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает более вариабельный возврат с обеих сторон – как ниже, так и выше средней).

3.9. Дисперсия линейной функции случайной величины

Для случайной величины, заданной линейной функцией аХ+b, имеем

D(a∙X + b) = a²∙D(X) = a²∙σ². (3.13)

По формуле (3.13) найдем дисперсию ожидаемого дохода для примера 3.5. Доход задан функцией 2Х – 8000. Находим M(X²) = = 5000²∙0,2 + 6000²∙0,3 + 7000²∙0,2 + 8000²∙0,2 + 9000²∙0,1 = 4 650 000. М(Х) = 6700. Отсюда дисперсия D(X) = M(X²) – [М(Х)]² = 46 500 000 – – 6700² = 1 610 000. Используя формулу (3.13), вычислим дисперсию ожидаемого дохода: D(Х) = σ² = 2²∙1 610 000 = 6 440 000. Среднее квадратическое отклонение дохода равно

4. Законы распределения дискретных случайных величин

4.1. Схема повторных испытаний.

Биномиальное распределение

Пример 4.1. Монета подбрасывается 4 раза, пусть X – число появившихся гербов.

Пример 4.2. Известно, что в определенном городе 30 % горожан предпочитают добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 8 человек. Пусть Y – число людей в выборке, предпочитающих личный автотранспорт.

Пример 4.3. Известно, что 15 % деталей, произведенных автоматом, – бракованные. В порядке случайного отбора взято 12 деталей. Пусть Z – число дефектных деталей.

В примерах X, Y, Z – дискретные случайные величин, подчиняющиеся биномиальному распределению. Биномиальное распределение базируется на эксперименте, состоящем в последовательности испытаний Бернулли (схеме повторных испытаний).

Испытания Бернулли – это последовательность n идентичных испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Каждое испытание имеет два исхода: успех и неуспех – взаимно несовместные и противоположные события.

2 Вероятность успеха р остается постоянной от испытания к испытанию. Вероятность неуспеха q = 1–р.

3. Все п испытаний – независимы. Вероятность наступления события в любом из испытаний не зависит от результатов других испытаний.

Успех и неуспех – статистические термины. Например, когда имеют дело с производственным процессом, то исход испытания «деталь дефектная» определяют как успех. Успех относится к появлению определенного события – «деталь дефектная», а неуспех относится к непоявлению события. Определим случайную величину как биномиальную, если для нее мы рассчитываем число успехов и неуспехов в последовательности п испытаний Бернулли.

Случайная величина, для которой вычисляется число успехов в n повторных испытаниях, где р – вероятность успеха в любом из заданных испытаний, a q = (1–р) – соответствующая вероятность неуспеха, подчиняется закону биномиального распределения с параметрами n и р.

В примере 4.1 п = 4, р = 0,5 – параметры биномиального распределения случайной величины X. Последовательные подбрасывания монеты – независимые эксперименты; исходы – «цифра» или «герб» (успех – неуспех) и вероятности их выпадения постоянны от испытания к испытанию.

В примере 4.2 п = 8, р = 0,3 – параметры биномиального распределения случайной величины Y. Заметим, что случайная выборка из большой генеральной совокупности предполагает независимость испытаний. Мы полагаем, что число людей в городе (генеральная совокупность) намного больше, чем число испытаний, и случайный отбор небольшого числа людей не влияет на ту часть оставшихся горожан, которые предпочитают добираться до работы на личном транспорте (события «предпочитают личный транспорт» для любых отобранных горожан – независимы). Если в генеральной совокупности только 10 человек, трое из которых предпочитают личный транспорт, то ситуация меняется. Вероятность того, что следующий отобранный горожанин предпочтет также личный транспорт, составит уже только 2/9   0,22 или 3/9  0,33 в зависимости от того, предпочитает ли он личный транспорт или нет. В этом случае условия 2 и 3 испытаний Бернулли будут нарушены и Y не будет биномиальной случайной величиной. Чем больше объем генеральной совокупности в сравнении с выборкой, тем менее серьезно нарушение условий 2 и 3. На практике пользуются правилом: если N/п > 10 (N – объем генеральной совокупности, n – объем выборки), то можно предположить независимость исходов.

В примере 4.3 Z подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 12, р = 0,15. Полагаем, что автомат произвел большое количество деталей, выборка выполнена случайным образом из большого числа сходных деталей по наличию или отсутствию дефектов.