§3 Распределение Больцмана.
Как мы рассмотрели ранее, микропараметры системы многих частиц являются случайными величинами и для определения их значений нужно знать функции распределения.
Существует различные функции распределения. В классической физике используется классическая статистика Максвелла-Больцмана, в которой движение частиц определяется законами Ньютона, частицы считаются различимыми.
Это распределение частиц по энергиям.
Пусть система состоит из
материальных точек. Для каждой 3 скорости
и 3 координаты. Разобьем все координатное
пространство и пространство скоростей
на
участков и будем определять число частиц
координаты и скорости которых попали
в
участок от
до
и от
до
.
Энергия частиц
подгруппы:
,
где
- энергия 1 частицы группы.
Энергия всей системы
,
где
Определим статистический вес состояния из групп по частиц (число размещений). Математика (комбинаторика) дает формулу:
,
подставим это выражение в формулу
Больцмана:
.
Учтем формулу Стирлинга для вычисления факториала:
при
при
величиной
можно пренебречь.
Тогда
У нас идеальный газ находится в фиксированном объеме. Запишем изменение энергии, связанное с тем, что меняется число частиц в группе.
Основное ТД тождество для открытой
системы
:
,
так как
,
то
В нашем случае, изменение внутренней
энергии частиц в группе и изменение
числа частиц в группе связаны:
; 
,
отсюда изменение энтропии, связанное
с тем, что меняется число частиц в
группе:
Подставим полученное выражение в основное ТД тождество для открытой изохорической системы:
сгруппируем
отсюда
.
Теперь выразим отношение
:
,
,
следовательно
,
так как величина
,
то можно ее обозначить
,
тогда с учетом, того что
вероятность частицы попасть в
участок, мы получим распределение
Больцмана:
- вероятность того, что молекула идеального
газа имеет энергию
,
т.е. находиться в
-ом
состоянии. Это дискретное распределение,
но его можно сделать непрерывным.
В данном распределении остается скрытой предпосылка осуществления этого распределения – различимости частиц. Эта предпосылка с физической точки зрения ошибочна, потому что в природе нет различимых частиц, и все реально существующие частицы описываются либо распределением Ферми-Дирака, либо распределением Бозе-Эйнштейна. Однако в наиболее часто встречающихся ситуациях классической физики распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают с распределением Максвелла-Больцмана, которое благодаря этому является основным распределением классической статистической физики.