Глава 2

§1 Основные математические понятия.

Как мы раньше говорили, с одной стороны, информация о положениях и скоростях всех отдельных частиц системы идеального газа является наиболее полной мыслимой информацией, а с другой стороны, в своей непосредственной форме она неприменима для анализа свойств и поведения системы. Чтобы информацию, содержащуюся в этих сведениях, можно было использовать, необходимо свести ее к некоторым обобщенным характеристикам совокупности частиц таким образом, чтобы они отражали наиболее существенные свойства этой совокупности, были бы легко обозримыми и сформулированными математически. Эти вопросы разработаны в теории вероятностей и математической статистике.

Разделим объем, который занят идеальным газом, на две равные части. Будем считать, что можем различать частицы и следить за положением отдельной частицы, не оказывая актом наблюдения существенного влияния на ее движение и состояние наблюдаемой системы в целом. Допустим, что система находится в неизменных внешних условиях. Рассмотрим событие, состоящее в том, что изучаемая частица находится в одной из половин объема. Тогда результат каждого наблюдения сводится к утверждению, что событие либо произошло, т.е. частица находится в данной половине объема, либо не произошло, т.е. ее нет в этой половине. Обозначим - общее число наблюдений или «испытаний»; - число испытаний, когда событие произошло, т.е. частица находилась в рассматриваемой половине объема; - само событие. Вероятность наступления события определяется формулой:

Здесь существенно очень большое число испытаний в системе, находящейся в неизменных условиях. Вместо требований испытаний над одной и той же системой в неизменных условиях можно говорить о совокупности отдельных испытаний над большим числом одинаковых систем. Это большое число одинаковых систем называется ансамблем систем.

Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности вероятности. Плотностью вероятности равняется вероятность нахождения молекулы в бесконечно малом объеме, отнесенном к этому объему:

, где - координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый объем .

Случайная величина считается заданной, если заданы спектр ее значений и функция распределения плотности вероятности принимать эти значения. Функция плотности вероятности является непрерывной, дифференцируемой, конечной и нормированной на 1.

Из этого определения следует, что если произвести наблюдений, то в объеме в окрестности точки молекула будет обнаружена в случаях.

В конечном объеме молекула окажется обнаруженной раз. Отсюда следует, что вероятность быть обнаруженной при наблюдении в объеме для молекулы равна: .

Если в качестве объема взять все пространство , то при каждом испытании частица окажется в какой-то точке пространства и, следовательно, число наблюдений частицы в объеме равно числу испытаний , т.е. и следовательно вероятность нахождения частицы в объеме равна единице. Условие

называется условием нормировки плотности вероятности. Оно выражает факт существования молекулы.

Среднее значение непрерывно изменяющейся величины (еще называют математическим ожиданием случайной величины с учетом вероятности):

,

где - плотность вероятности распределения случайной величины х.

Дисперсия. «Разброс» величины около ее среднего значения характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения рассматриваемой величины от ее среднего значения и задается формулой для непрерывной случайной величины:

Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением.

Функция распределения вероятностей. Вероятность того, что случайная величина х принимает значения, меньшие некоторого заданного числа х₀, т.е. определяется формулой:

.

Функция называется функцией распределения вероятностей.

В физике принято характеризовать распределение вероятностей посредством плотности вероятности. При этом слова «плотность» и «вероятность» опускаются, и говорится просто о распределении. Например, функция называется просто функцией распределения координат. Можно говорить о функциях распределения скоростей, импульсов и т.д. вид функции распределения зависит от физических условий, свойств частиц и т.д. Однако имеются наиболее типичные распределения, которые реализуются при весьма общих физических условиях. Это распределение Гаусса, Биномиальное распределение, распределение Пуассона и т.д.