6.2.3. Метод двойного предпочтения

В данном методе отмечаются клетки с наименьшей стоимостью в каждой строке, затем выбирается наименьший элемент в столбце. Отметим их каким-нибудь значком. В дважды отмеченные клетки ☺☺ заносятся максимально допустимые перевозки. Далее, в отмеченные один раз клетки ☺ заносятся максимальные перевозки. Остаток таблицы можно заполнить методом северо-западного угла или методом наименьшей стоимости.

Опишем алгоритм этого метода на том же примере.

Выберем в каждом столбце минимальную стоимость и отметим его значком. Тоже сделаем со строками. Выбрали клетки с двумя значками: в клетку А₁-В₂ ставим перевозку (закрыт 2 столбец, в пункте А₁ осталось 40-21=19 ед.); клетка А₂-В₁ – перевозка равна , закрыт 1 столбец, в пункте А₂ осталось 30-20=10 ед.); клетка А₃-В₃ – перевозка , закрыт 3 столбец, в пункте А₂ осталось 10-7=3 ед.) Теперь ставим перевозки в клетки с одним значком: А₂-В₅ – перевозка (закрыт 5 столбец, в пункте А₂ осталось 10-8=2 ед.); А₃-В₄ – перевозка (закрыта 3 строка, а пункту В₄ нужно 24-3=21 ед.). Остальные клетки можно заполнить так же, как в предыдущем методе.

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	- 4	☺☺21 3	- 4	19 11	- 9	40
А2	☺☺20 3	- 4	- 7	2 15	☺8 8	30
А3	- 7	- 4	☺☺7 2	☺ 3 8	- 15	10
	20	21	7	24	8

Общая стоимость перевозок равна:

.

Для нашего примера опорные планы двух последних методов совпадают. Выберем метод двойного предпочтения и оценим его на оптимальность по методу потенциалов.

6.3. Метод потенциалов

Метод потенциалов позволяет оценить составленный опорный план и при необходимости, последовательно улучшая его, находить оптимальное решение.

Теоремы метода.

Теорема 1: Если опорный план X = (x_ij) является оптимальным, то существует система из (m+n) чисел, называемых потенциалами, U_i , V_j , такая, что:

а) U_i +V_j = C_ij, для x_ij > 0 (базисные переменные);

б) U_i +V_j = C_ij, для x_ij = 0 (свободные переменные).

Таким образом, для оптимальности опорного плана необходимо выполнение следующих условий:

 для каждой занятой клетки сумма потенциалов равна стоимости перевозки единицы груза, стоящей в этой клетке:

U_i +V_j = C_ij (6.5)

 для каждой свободной клетки сумма потенциалов меньше или равна стоимости перевозки единицы груза, стоящей в этой клетке:

U_i +V_j ≤ C_ij (6.6)

Примечание: Система (6.5) содержит (m+n) неизвестных и (m+n-1) линейно независимых уравнений. Такая система имеет бесчисленное множество решений, которые можно получить, придавая одной из неизвестных конкретное значение. Это значение выбирается произвольно, например, можно придать U₁ значение равное 0, тогда другие потенциалы вычисляются из системы (6.5).

Теорема 2. Любая закрытая транспортная задача имеет решение, которое достигается за конечное число шагов метода потенциалов.