5.2.5. Интегрирование тригонометрических функций.
В
этом параграфе будем говорить об
интегрировании функций, рационально
определяющихся через тригонометрические
функции sinx, cosx.
Их принято записывать в виде
.
Теорема. Интеграл
подстановкой
преобразуется в интеграл от рациональной
функции (рационализируется).
Доказательство этой теоремы основывается на известных формулах
,
т.е.,
;
,
т.е.,
;
а из
равенства
получаем
.
И
,
т.е. интегрирование свелось к предыдущему
методу.
Подстановка
называется универсальной. Но не следует
ею пользоваться во всех случаях, хотя
она сработает во всех. Например, такие
интегралы, как
,
,
,
и т.п., разумнее брать непосредственно.
П ример:
.
Практикум по разделу 5.2.
Задание 1. Пользуясь
найти следующие неопределенные интегралы:
а)
;
а)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Задание 2. Проинтегрировать методом подстановки:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
.
Задание 3. Проинтегрировать методом интегрирования по частям:
а)
;
б)
; в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
.
Задание 4. Проинтегрировать дробно-рациональные функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
з)
; и)
;
к)
; л)
; м)
;
н)
;
о)
.
Задание 5. Проинтегрировать тригонометрические функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
; е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
; о)
.
Задание 6. Проинтегрировать:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
;
р)
;
с)
;
т)
;
у)
.
*)
Знак
-
стилизованная буква S,
часто используемая для обозначения
суммы.
*) Наизусть! Это легко, если были выучены наизусть табличные производные