VIII. Интегрирование иррациональных выражений.
При интегрировании иррациональных выражений (в данном случае имеются в виду выражения, содержащие корни) необходимо сделать следующие замены переменной интегрирования, позволяющие избавиться от иррациональности.
Пример VIII.1.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример VIII.2.
Вычислить интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
IX. Интегрирование тригонометрических функций.
1.
Интегралы типа
,
где m
или n
- целое,
положительное
нечетное
число, можно
вычислить следующим способом: отделить
от нечетной степени сомножитель, подвести
его под знак дифференциала и использовать
подстановку, обозначив ко-функцию новой
переменной.
Пример IX.1.
Вычислить
интеграл
Решение:
=
Пример IX.2.
Вычислить
интеграл
Решение:
2. Интегралы типа , где m и n - целые, положительные четные числа, вычисляют, применяя формулы понижения степени:
Пример IX.3.
Вычислить
интеграл
Решение:
3. Интегралы типа , где (m + n) - целое, отрицательное четное число, можно вычислить, используя подстановку tg kx = t.
Тогда
Пример IX.4.
Вычислить
интеграл
Решение:
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Функцию с переменными sin kx и cos kx, над которыми выполняют действия сложения, вычитания, умножения и деления, обозначают
R(sin kx, cos kx), где R – знак рациональной функции.
Вычисление
неопределённых интегралов
сводится к вычислению интегралов от
рациональной функции подстановкой
,
которая
называется универсальной.
Здесь
и
Пример IX.6.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример IX.7.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример IX.8.
Вычислить
интеграл
Решение:
Вычислим последний интеграл отдельно:
5. Использование формул для преобразования произведений
тригонометрических функций от различных аргументов
Интегралы
типа
вычисляют с помощью тригонометрических
формул перехода от произведения функций
к сумме:
Пример IX.9.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример IX.10.
Вычислить
интеграл
Решение:
6. Использование тригонометрических подстановок.
Пример IX.11.
Вычислить
интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
Варианты контрольной работы
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 4 |
Вариант 5 |
Вариант 6 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 7 |
Вариант 8 |
Вариант 9 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 10 |
Вариант 11 |
Вариант 12 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 13 |
Вариант 14 |
Вариант 15 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5 |
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 16 |
Вариант 17 |
Вариант 18 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 19 |
Вариант 20 |
Вариант 21 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 22 |
Вариант 23 |
Вариант 24 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 25 |
Вариант 26 |
Вариант 27 |
1.
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
2.
|
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6. |
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
Вариант 28 |
Вариант 29 |
Вариант 30 |
1.
|
1.
|
1.
|
2. |
2.
|
2. |
3.
|
3.
|
3.
|
4.
|
4.
|
4.
|
5.
|
5.
|
5.
|
6.
|
6.
|
6.
|
7.
|
7.
|
7.
|
8.
|
8.
|
8.
|
.
Содержание
Неопределенный интеграл |
|
Введение……………………………………………………….……………… |
|
Первообразная и неопределенный интеграл……………………………….. |
|
Определение, свойства, таблица интегралов………………………….. |
|
Способы вычисления интегралов…………………………………………… |
|
I. Табличное интегрирование……………………………………………. |
|
II. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала... |
|
III. Подведение (внесение) под знак дифференциала……………………. |
|
IV. Замена переменных…………………………………………………….. |
|
V. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен…... |
|
VI. Интегрирование по частям……….……………………………………. |
|
VII. Интегрирование рациональных выражений…………………………. |
|
VIII. Интегрирование иррациональных выражений………………………. |
|
IX. Интегрирование тригонометрических выражений………………….. |
|