
- •I. Табличное интегрирование
- •II. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала
- •III. Подведение (внесение) под знак дифференциала.
- •IV. Замена переменной под знаком интеграла (подстановка)
- •V. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
- •VI. Интегрирование по частям.
- •VII. Интегрирование рациональных дробей.
- •VIII. Интегрирование иррациональных выражений.
- •IX. Интегрирование тригонометрических функций.
- •Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •5. Использование формул для преобразования произведений
- •6. Использование тригонометрических подстановок.
Неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл |
Определение: Первообразной непрерывной функции f(x) на интервале (a; b) называется функция F(x), производная которой равна f(x) во всех точках данного интервала: F′(x) = f(x)
Теорема: Если есть две первообразные функции f(x), то они отличаются друг от друга только на постоянную величину.
Определение: Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом.
где
–
знак интеграла, f(x)
– подынтегральная функция, dx
– знак дифференциала, f(x)
d
x
– подынтегральное выражение.
Теорема: Непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируема на интервале (a; b) (т.е. существует первообразная или неопределенный интеграл).
Свойства неопределенного интеграла:
Способы вычисления интегралов |
I. Табличное интегрирование
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам называется непосредственным интегрированием.
Таблица интегралов (u=u(x)):
|
|
Пример
I.1.
Вычислить интеграл
Решение:
Пример
I.1а.
Вычислить интеграл
II. Линейное преобразование выражения под знаком дифференциала
Если
известен интеграл
,
то следующие интегралы могут быть
вычислены с помощью линейного
преобразования выражения под знаком
дифференциала:
Пример
II.1.
Вычислить интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
III. Подведение (внесение) под знак дифференциала.
Один из множителей подынтегральной функции можно подвести под знак дифференциала. Для этого необходимо вычислить первообразную этого множителя и записать ее под знаком дифференциала. В дальнейшем все дополнительные вычисления и рассуждения будем записывать между двумя вертикальными чертами.
!Совет. Если после внесения одного из множителей под знак дифференциала возникли затруднения в дальнейших действиях, смело заменяйте полученное выражение под знаком дифференциала на новую переменную.
Пример
III.1.
Вычислить интеграл
Решение:
IV. Замена переменной под знаком интеграла (подстановка)
В неопределенном интеграле переменную интегрирования можно заменить на непрерывную и дифференцируемую функцию от другой переменной:
Пример
IV.1.
Вычислить
интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
V. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.
При интегрировании
выражений, содержащих квадратный
трехчлен в знаменателе:
необходимо
использовать подстановку:
.
Пример
V.1.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример
V.1а.
Вычислить интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
VI. Интегрирование по частям.
Формула интегрирования
по частям
Случаи применения формулы интегрирования по частям:
Замечания:
1. Через Tr(x) обозначена тригонометрическая функция, Pn(x) означает многочлен степени n, а в квадратных скобках перечислены функции, к которым применима данная формула.
2. Во втором пункте вместо многочлена можно подставлять и степенную функцию.
Пример
VI.1.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример VI.2.
Вычислить
интеграл
Решение:
Пример VI.3.
Вычислить
интеграл
Решение:
Вычислить интегралы:
|
|
|
VII. Интегрирование рациональных дробей.
Определение.
Рациональной дробью называется отношение
двух многочленов: R(x)
=
,
где Pm(x)
– многочлен степени m,
а Qn(x)
– многочлен степени n.
Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе m < n, и неправильной, если m ≥ n.
Теорема. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби (дробная часть), если разделить числитель на знаменатель.
Например,
дробь
- неправильная.
Разделим числитель на знаменатель:
Здесь целая часть равна (х - 1) , остаток деления равен (2х + 1) и, следовательно,
наша рациональная дробь представляется в следующем виде:
Определение. Правильные рациональные дроби вида
|
|
где A, B, C, E, L, K, a, p, q - действительные числа, называются простейшими рациональными дробями.
Теорема.
Всякий многочлен с действительными
коэффициентами Qn(x),
степень которого выше двух (n
> 2), можно разложить на линейные и
квадратные множители с действительными
коэффициентами, то есть многочлен
можно представить в виде:
Здесь k1+k2+…+ks +l1 +l2 +…+ lr = n и все квадратные трёхчлены не имеют действительных корней, то есть их дискриминанты меньше нуля.
Теорема.
Всякую правильную рациональную дробь
,
знаменатель которой разложен на множители
:
можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей:
Алгоритм разложения:
Привести дробь к правильному виду (в дальнейшем будем рассматривать только правильную дробь).
Найти корни знаменателя правильной дроби и разложить его на линейные и квадратные множители.
Представить дробь в виде суммы всевозможных различных простейших дробей, в знаменателях которых стоят всевозможные множители знаменателя, а в числителях соответствующей степени многочлены с неопределенными коэффициентами.
! Контроль. Число неопределенных коэффициентов должно равняться степени многочлена в знаменателе исходной дроби.
Привести сумму простейших дробей к общему знаменателю. Общим знаменателем является знаменатель исходной дроби.
Приравнять числители получившейся и исходной дроби. Вычислить неопределённые коэффициенты. Для этого можно воспользоваться двумя способами: 1) приравнять коэффициенты при соответствующих степенях х в числителях многочленов в правой и левой частях равенства; 2) подставить вместо х конкретные числовые значения (в первую очередь – корни знаменателя). Лучше всего комбинировать эти два способа.
Общее правило интегрирования рациональных дробей:
Если под знаком интеграла стоит неправильная дробь, то путём деления числителя на знаменатель, её нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить её в виде суммы простейших рациональных дробей.
Вычислить интеграл от многочлена и каждой из простейших рациональных дробей.
Пример VII.1.
Вычислить
интеграл
Решение:
Приравниваем числители:
.
Находим неопределённые коэффициенты: подставляя х = -1, получим 2 = D; сравнивая коэффициенты при х3, имеем А = 0. Выписываем коэффициенты при х2: 1 = 3A + B, следовательно, В = 1. При х = 0 имеем: 1 = A + B + C + D и С = 2.
Подставляем полученные коэффициенты в разложение:
;
Находим интегралы от простейших дробей
Пример VII.2.
Вычислить
интеграл
Решение: Так как дробь является неправильной, разделим числитель на знаменатель:
Подынтегральная функция при этом представляется в следующем виде:
Разложим правильную дробь на сумму простейших:
Вычислить интегралы:
|
|
|