Главные нормальные и главные касательные напряжения

Ч ерез точку тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести бесконечное множество взаимно перпендикулярных плоскостей. И только на единственной тройке плоскостей будут отсутствовать касательные напряжения и действовать только нормальные. Такие площадки называются главными. Нормальные напряжения на этих площадках называются главными нормальными напряжениями и обозначаются , а оси, вдоль которых они действуют – главными осями. Напряженное состояние в точке вполне определяется направлением главных осей и величиной главных нормальных напряжений.

Различают 9 схем главных напряжений: 2 линейные (растяжение, сжатие), 3 плоские (р-р, с-с, р-с) и 4 объемные (р-р-р, с-с-с, р-с-с, р-р-с).

Если напряженное состояние точки задано главными напряжениями, то все формулы значительно упрощаются.

Полное напряжение:

Нормальное напряжение:

Касательные напряжения:

Проекции полного напряжения: ; ; .

Используя соотношение , получим . Это уравнение эллипсоида, отнесенное к центру и главным осям, называют эллипсоидом напряжений. Полуоси эллипсоида напряжений равны главным напряжениям. Любой отрезок от центра до пересечения с поверхностью представляет величину полного напряжения S на площадке, перпендикулярной отрезку. При равенстве двух главных напряжений эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а при равенстве трех главных напряжений – в шар.

Если из главных плоскостей построить куб, то внутри этого куба имеется 6 плоскостей, на которых действуют главные касательные напряжения. Эти плоскости проходят через диагонали куба.

Главные касательные напряжения (с учетом знака) определяются по формулам:

Графическое представление соотношения главных нормальных и главных касательных напряжений дают круги Мора.

На площадках, где действуют главные касательные напряжения, имеются и свои нормальные напряжения. Они определяются по следующим формулам:

Шесть плоскостей главных касательных напряжений образуют правильный двенадцатигранник – додекаэдр. Поэтому их иногда называют додекаэдрическими.

Октаэдрические напряжения

Наряду с площадками, по которым действуют главные нормальные и главные касательные напряжения, большое значение в теории пластической деформации имеют площадки, равнонаклоненные к главным осям, а значит отсекающие от них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего их 8 и вместе они образуют правильный 8-гранник – октаэдр. Эти площадки попарно взаимно параллельны. Поэтому независимых всего 4. Напряжения, действующие на этих площадках, называются октаэдрическими.

Определим нормальное и касательное октаэдрические напряжения.

Поскольку площадки равнонаклонены к главным осям, . Тогда из равенства имеем и

Полное октаэдрическое напряжение определим по формуле , подставив туда значение направляющих косинусов:

.

Из выражения получим выражение для нормального октаэдрического напряжения:

Касательное октаэдрическое напряжение:

После всех преобразований получим выражение для интенсивности касательных напряжений в главных осях:

.

В произвольных напряжениях:

,

в главных касательных напряжениях:

.

По аналогии с интенсивностью касательных напряжений вводится понятие интенсивность нормальных напряжений: ;

Таким образом, через точку тела, находящегося в напряженном состоянии, можно провести 13 характерных площадок:

• 3 главные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения _;

• 6 площадок, на которых действуют главные касательные напряжения и нормальные _;

• 4 октаэдрические площадки, на которых действуют равные для всех площадок октаэдрические напряжения .

Если к этим 13-и площадкам добавить им параллельные, то получится 20-гранник.