Курсовик по квантовой механике / кванты6g

Задание:

найти энергии и волновые функции электрона на 3-4 уровне в прямоугольной потенциальной яме вида:

Построить графики волновых функций этих состояний. Вычислить вероятности обнаружения электрона в каждом из секторов ямы в заданных состояниях.

.

Решение запишем стационарные уравнения Шрёдингера для 3-х участков ямы. Мы имеем право это сделать т.к. гамильтониан задачи явно от времени не зависит.

Для областей I и III: (1)

Для области III (2)

Граничные условия такой задачи будут выглядеть:

(3)

; (4)

; (5)

Преобразуем уравнения (1,2) к виду:

(6)

(7)

В зависимости от U₀ решения уравнения (7) могут быть как тригонометрическими так и экспоненциальными.

В первом варианте решение системы (6,7) может быть представлено в виде:

Во втором случае:

(8…11) где ;

Как видно, в I и III областях решения всегда одинаковы и не зависят от U₀. Пользуясь условием (3) можно записать решение в I и III области в виде:

, для нечётного случая, , для чётного. y=(2/a)x

Выражение (11) можно преобразовать к виду:

;

После этого решения разбиваются на 2 группы: с чётными волновыми функциями и нечётными волновыми функциями. Оба варианта имеют симметричный квадрат модуля, т.е. имеют определённый физический смысл:

1. Чётные решения, E>U₀.

(12)

2. Нечётные решения, Е>U₀.

(13)

3. Чётные решения, E<U₀.

(14)

4. Нечётные решения, E<U₀.

(15)

Решения в I и III областях имеют одинаковую амплитуду A_I=A_III, как следствие симметрии задачи.

Запишем условия сшивания (4,5) для решений (12…15):

(16)

(17)

(18)

(19)

Во всех случаях разделив первое уравнение на второе получаем трансцендентные уравнения для k и .

Для k и можно получить следующее равенство:

(20)

Трансцендентные уравнения имеют вид:

(21..24)

используя равенство (20) можно записать:

(25)

(26)

(27)

(28)

На корни уравнений необходимо наложить условия: В (25,26) мы полагаем что E>U₀, а значит является действительной величиной. Из соотношения (20) нужно положить что для условия E>U₀ и для E<U₀, т.к. в данном случае должно быть комплексное число.

k₁=1.34776775 из (27)

k₂=1.35003083 из (28)

k₃=2.63077101 из (27) (29)

k₄=2.65432010 из (28)

Значения энергии электрона можно выразить через E₀:

; , тогда

E₁= 0.73619076677 E₀

E₂= 0.73866516544 E₀

E₃= 1.06621133050 E₀ (30)

E₄= 1.07575541719 E₀

Чтобы найти нормировочные коэффициенты для волновых функций нужно использовать условия (16…19)

Для 3-го уровня, используя (18) (чётное решение) можем выразить B_II через A_I:

= -0.2967728269 A_I (31)

Для 4-го уровня, используя (19) (нечётное решение) можем выразить A_II через A_I:

= -0.3193455763 A_I. (32)

Коэффициент A_I может быть найден из условия нормировки, которое в данной задаче будет иметь вид:

для 3-го уровня

для 4-го уровня

Используя (31,32) получаем следующие значения для A_I.

Для 3-го уровня: A_I = 0.613770559809; D_II= -0.1821504241

Для 4-го уровня: A_I = 0.607038501361; C_II= -0.1938550600

Можно построить графики -функций для 3-4 уровня.

3-й уровень

4-й уровень

Выводы:

Проведённоё решение демонстрирует возможность точного решения такого типа задач (за исключением численных приближений при нахождении корней трансцендентных уравнений).

Смещение энергетических уровней по сравнению с задачей о прямоугольной потенциальной колеблется в зависимости от уровня

3 и 4 энергетические уровни лежат под ступенькой, т.к. высота ступеньки достаточно велика.

На третьем уровне:

w_II=0.1828181088

w_I=0.4085909460

На четвёртом уровне:

w_II=0.198502042

w_I=0.400748979