Курсовик по квантовой механике / кванты
.docГосударственный комитет Российской Федерации по высшему образованию
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет
Кафедра Физической электроники и оптоэлектронных приборов
Курсовая работа
По дисциплине «Квантовая механика и статистическая физика»
Выполнил: Комиссаров С.С. гр. 9202
Руководитель: доц. Силицкий А.Г.
2001 г.
Задание:
найти энергии и волновые функции электрона на 5-6 уровне в прямоугольной потенциальной яме вида:
Построить графики волновых функций этих состояний. Вычислить вероятности обнаружения электрона в каждом из секторов ямы в заданных состояниях.
.
Решение:
Запишем стационарные уравнения Шрёдингера для 3-х участков ямы. Мы имеем право это сделать т.к. гамильтониан задачи явно от времени не зависит.
Для областей I и III: (1)
Для области II: (2)
Граничные условия такой задачи будут выглядеть:
(3)
; (4)
; (5)
Преобразуем уравнения (1,2) к виду:
(6)
(7)
В зависимости от U0 решения уравнения (7) могут быть как тригонометрическими так и экспоненциальными.
В первом варианте решение системы (6,7) может быть представлено в виде:
Во втором случае:
(8…11) где ;
Как видно, в I и III областях решения всегда одинаковы и не зависят от U0. Пользуясь условием (3) можно записать решение в I и III области в виде:
, для нечётного случая, , для чётного. y=(2/a)x
Выражение (11) можно преобразовать к виду:
;
После этого решения разбиваются на 2 группы: с чётными волновыми функциями и нечётными волновыми функциями. Оба варианта имеют симметричный квадрат модуля, т.е. имеют определённый физический смысл:
-
Чётные решения, E>U0.
(12)
-
Нечётные решения, Е>U0.
(13)
-
Чётные решения, E<U0.
(14)
-
Нечётные решения, E<U0.
(15)
Решения в I и III областях имеют одинаковую амплитуду AI=AIII, как следствие симметрии задачи.
Запишем условия сшивания (4,5) для решений (12…15):
(16)
(17)
(18)
(19)
Во всех случаях разделив первое уравнение на второе получаем трансцендентные уравнения для k и .
Для k и можно получить следующее равенство:
(20)
Трансцендентные уравнения имеют вид:
(21..24)
используя равенство (20) можно записать:
(25)
(26)
(27)
(28)
k1=1.11934507 из (27)
k2=1.20156291 из (28)
k3=1.92451909 из (25)
k4=2.31067322 из (26)
k5=2.74957868 из (25)
k6=3.28602313 из (26)
Значения энергии электрона можно выразить через E0:
; , тогда
E1= 0.507794777 E0
E2= 0.585131233 E0
E3= 1,5010829556 E0
E4= 2,1639006083 E0
E5= 3,0640267340 E0 (30)
E6= 4,3762435035 E0
Чтобы найти нормировочные коэффициенты для волновых функций нужно использовать условия (16…19)
Для 5-го уровня, используя (16) (чётное решение) можем выразить BII через AI:
= 1.114858206309 AI (31)
Для 6-го уровня, используя (17) (нечётное решение) можем выразить AII через AI:
= 1.127897557142 AI. (32)
Коэффициент AI может быть найден из условия нормировки, которое в данной задаче будет иметь вид:
для 5-го уровня
для 6-го уровня
Используя (31,32) получаем следующие значения для AI.
Для 5-го уровня: AI = 0.5630067877 ; BII= 0.62767273757
Для 6-го уровня: AI = 0.5507518882; AII= 0.62119170932
Можно построить графики -функций для 5-6 уровня.
Выводы:
Проведённоё решение демонстрирует возможность точного решения такого типа задач (за исключением численных приближений при нахождении корней трансцендентных уравнений).
Поскольку исследуются достаточно высокие уровни, то больших различий в амплитуде функции па краях и по середине нет, и вероятности нахождения частицы во всех частях почти равны:
На 5-м уровне: на ступеньке: W= 0.308405982317
Слева/справа от ступеньки W= 0.3457970088
На 6-м уровне: на ступеньке: W= 0.418550316060
Слева/справа от ступеньки W= 0.2907248419