Скачиваний:
11
Добавлен:
01.05.2014
Размер:
162.82 Кб
Скачать

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

Кафедра Физической электроники и оптоэлектронных приборов

Курсовая работа

По дисциплине «Квантовая механика и статистическая физика»

Выполнил: Комиссаров С.С. гр. 9202

Руководитель: доц. Силицкий А.Г.

2001 г.

Задание:

найти энергии и волновые функции электрона на 5-6 уровне в прямоугольной потенциальной яме вида:

Построить графики волновых функций этих состояний. Вычислить вероятности обнаружения электрона в каждом из секторов ямы в заданных состояниях.

.

Решение:

Запишем стационарные уравнения Шрёдингера для 3-х участков ямы. Мы имеем право это сделать т.к. гамильтониан задачи явно от времени не зависит.

Для областей I и III: (1)

Для области II: (2)

Граничные условия такой задачи будут выглядеть:

(3)

; (4)

; (5)

Преобразуем уравнения (1,2) к виду:

(6)

(7)

В зависимости от U0 решения уравнения (7) могут быть как тригонометрическими так и экспоненциальными.

В первом варианте решение системы (6,7) может быть представлено в виде:

Во втором случае:

(8…11) где ;

Как видно, в I и III областях решения всегда одинаковы и не зависят от U0. Пользуясь условием (3) можно записать решение в I и III области в виде:

, для нечётного случая, , для чётного. y=(2/a)x

Выражение (11) можно преобразовать к виду:

;

После этого решения разбиваются на 2 группы: с чётными волновыми функциями и нечётными волновыми функциями. Оба варианта имеют симметричный квадрат модуля, т.е. имеют определённый физический смысл:

  1. Чётные решения, E>U0.

(12)

  1. Нечётные решения, Е>U0.

(13)

  1. Чётные решения, E<U0.

(14)

  1. Нечётные решения, E<U0.

(15)

Решения в I и III областях имеют одинаковую амплитуду AI=AIII, как следствие симметрии задачи.

Запишем условия сшивания (4,5) для решений (12…15):

(16)

(17)

(18)

(19)

Во всех случаях разделив первое уравнение на второе получаем трансцендентные уравнения для k и .

Для k и можно получить следующее равенство:

(20)

Трансцендентные уравнения имеют вид:

(21..24)

используя равенство (20) можно записать:

(25)

(26)

(27)

(28)

k1=1.11934507 из (27)

k2=1.20156291 из (28)

k3=1.92451909 из (25)

k4=2.31067322 из (26)

k5=2.74957868 из (25)

k6=3.28602313 из (26)

Значения энергии электрона можно выразить через E0:

; , тогда

E1= 0.507794777 E0

E2= 0.585131233 E0

E3= 1,5010829556 E0

E4= 2,1639006083 E0

E5= 3,0640267340 E0 (30)

E6= 4,3762435035 E0

Чтобы найти нормировочные коэффициенты для волновых функций нужно использовать условия (16…19)

Для 5-го уровня, используя (16) (чётное решение) можем выразить BII через AI:

= 1.114858206309 AI (31)

Для 6-го уровня, используя (17) (нечётное решение) можем выразить AII через AI:

= 1.127897557142 AI. (32)

Коэффициент AI может быть найден из условия нормировки, которое в данной задаче будет иметь вид:

для 5-го уровня

для 6-го уровня

Используя (31,32) получаем следующие значения для AI.

Для 5-го уровня: AI = 0.5630067877 ; BII= 0.62767273757

Для 6-го уровня: AI = 0.5507518882; AII= 0.62119170932

Можно построить графики -функций для 5-6 уровня.

Выводы:

Проведённоё решение демонстрирует возможность точного решения такого типа задач (за исключением численных приближений при нахождении корней трансцендентных уравнений).

Поскольку исследуются достаточно высокие уровни, то больших различий в амплитуде функции па краях и по середине нет, и вероятности нахождения частицы во всех частях почти равны:

На 5-м уровне: на ступеньке: W= 0.308405982317

Слева/справа от ступеньки W= 0.3457970088

На 6-м уровне: на ступеньке: W= 0.418550316060

Слева/справа от ступеньки W= 0.2907248419

Соседние файлы в папке Курсовик по квантовой механике