Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского» (ННГУ)

Механико-математический факультет

Утверждено на заседании Ученого Совета факультета

 _____________

Председатель Совета д.ф.м.н., профессор

____________________А.К.Любимов

ПРОГРАММА государственного междисциплинарного экзамена по специальности 010501.65 «Прикладная математика и информатика»

Нижний Новгород

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Непрерывность функции одного переменного. Доказать теорему Больцано-Коши. Непрерывность и ограниченность функции одного переменного. Доказать теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функции одного переменного. Теорема Кантора. Дифференцируемость функции одного переменного. Дифференцируемость функций многих переменных. Доказать необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции многих переменных. Экстремумы функции одного переменного. Доказать необходимое и достаточное условия экстремума. Экстремумы функции многих переменных. Доказать необходимое и достаточное условия экстремума функции многих переменных. Криволинейный интеграл 2-го рода. Вывести формулу Грина. Равномерная сходимость функционального ряда. Доказать признак Вейерштрасса. Сформулировать функциональные свойства суммы степенного ряда. Ряд Тейлора. Доказать условие существования разложения одной из функций , , в ряд Маклорена. Ряд Фурье. Достаточное условие поточечной сходимости ряда Фурье.

2. Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной y' = f(x,y). Основные методы интегрирования. Теорема Пикара существования и единственности решения задачи Коши.

Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Теорема существования фундаментальной системы решений, теорема о структуре общего решения, метод нахождения фундаментальной системы решений в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных нахождения его частного решения. Метод неопределенных коэффициентов для уравнения с постоянными коэффициентами и квазимногочленом в правой части.

Система линейных дифференциальных уравнений. Способ решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных нахождения частного решения линейной неоднородной системы.

3. Геометрия и алгебра (Разуваев а.Г.)

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Свободные векторы, линейные операции над ними. Линейная зависимость векторов, геометрический смысл. Базис, координаты вектора в данном базисе. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Аффинная и прямоугольная системы координат, преобразования: параллельный перенос и поворот осей координат.

Прямая линия на плоскости, различные виды ее уравнений. Пучок прямых на плоскости. Плоскость, различные виды ее уравнений. Взаимное расположение двух плоскостей. Пучок плоскостей и связка плоскостей. Прямая линия в пространстве, ее уравнения. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

АЛГЕБРА

Корни многочленов. Кратные корни. Определение числа действительных корней с помощью системы Штурма. Решение и исследование систем линейных уравнений. Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравнений. Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений. Линейные операторы и их матрицы. Характеристический многочлен, собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Квадратичные формы, приведение их к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Векторное пространство. Базис, размерность. Подпространства и операции над ними. Замена базиса и пересчет координат. Линейные отображения векторных пространств и их матрицы. Собственные числа и собственные вектора линейного оператора. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Процесс ортогонализации. Самосопряженные операторы. Канонический вид матрицы самосопряженного оператора. Приведение квадратичной формы к главным осям. Ортогональные операторы и их свойства.

4. Функциональный анализ

Измеримые функции действительного переменного. Сходимости в среднем, почти всюду, по мере, связь между ними. Интеграл Лебега от ограниченной функции действительного переменного. Сравнение интегралов Римана и Лебега. Метрические пространства. Компактные множества в метрическом пространстве. Теорема Арцела-Асколи. Принцип сжимающих отображений. Применения. Банаховы пространства. Гильбертовы пространства. Линейный оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма линейного ограниченного оператора. Пространство линейных ограниченных операторов. Спектр линейного ограниченного оператора.