2.4.2 Весовые функции (окна)

Для уменьшения растекания спектра при ДПФ применяются весовые функции (weighting functions), которые также называют окнами (windows). В этом случае перед расчетом ДПФ сигнал умножается на весовую функцию w(k), которая должна спадать к краям сегмента. Формула прямого ДПФ при использова­нии весовых функций принимает следующий вид:

Роль весовой функции в этой формуле можно рассматривать с различных точек зрения. Сначала проанализируем ситуацию во временной области. Если мы ис­пользуем весовую функцию, которая имеет максимум в середине (при k = N/2) и плавно спадает к краям (k = 0 и k = N-1), то это приведет к ослаблению эффектов, связанных с возникновением скачков сигнала при периодическом повторе­нии анализируемой конечной последовательности, и, таким образом, к уменьше­нию растекания спектра.

Аналогичный вывод можно сделать, рассмотрев влияние весовой функции в час­тотной области. Умножение сигнала на весовую функцию соответствует свертке спектров сигнала и весовой функции. Это приводит к тому, что пики, содержащиеся в спектре сиг­нала, несколько расширяются. Однако при этом становится возможно умень­шить уровень боковых лепестков спектральной функции, что и является целью применения весовых функций.

Если трактовать ДПФ как фильтрацию, при использовании весовой функции w(k) получаются частотные характеристики фильтров следующего вида:

Выбирая весовую функцию w(k) определенным образом, можно уменьшить уро­вень боковых лепестков частотой характеристики фильтров, соответствующих отдельным каналам ДПФ. Естественно, платой за это является расширение цен­трального лепестка частотной характеристики.

3. Текст программы

clc

clear all

clear global

% Загрузка входных данных

load EEG2.txt;

N=2048;

a=11;

b=13;

c=15;

A=EEG2(:,a);

B=EEG2(:,b);

C=EEG2(:,c);

D=[A B C];

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% Оценка статистических характеристик реализации случайного процессе

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

MatOg_A=mean(A);

MatOg_B=mean(B);

MatOg_C=mean(C);

MatOgABC=[MatOg_A MatOg_B MatOg_C];

Disp_A=var(A);

Disp_B=var(B);

Disp_C=var(C);

DispABC=[Disp_A Disp_B Disp_C];

%Вычислим вариативность дисперсии и матожидания.Разобьем массив данных на

%отдельные интервалы,длительностью 64, 128, 256, 512, 1024 отсчета.

V=[64 128 256 512 1024];

for i=1:3

for t=1:length(V)

e=V(t);

R=zeros(1,N/e);

L=zeros(1,N/e);

for k=1:N/e

k1=1+(k-1)*e;

k2=e+(k-1)*e;

h=var(D(k1:k2,i));

j=mean(D(k1:k2,i));

R(k)=h;%вычисленние значений дисперсий подынтервалов

L(k)=j;%вычисленние значений матожиданий подынтервалов

end

VarDisp(t,i)=var(R); %нахождение вариативности для трех каналов

VarMat(t,i)=var(L);

end

end

figure(1);

subplot(2,1,1)

plot(V,VarDisp,'-o')

grid on

title('VarDisp')

legend('11 channel','13 channel','15 channel')

subplot(2,1,2)

plot(V,VarMat,'-o')

grid on

title('VarMat')

legend('11 channel','13 channel','15 channel')

VarDisp

VarMat

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% Оценка плотности распределения реализации случайного процесса

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

figure(2);

subplot(3,1,1)

hist(A,32)

title('Histogram for 11 channel')

grid on

subplot(3,1,2)

hist(B,32)

title('Histogram for 13 channel')

grid on

subplot(3,1,3)

hist(C,32)

title('Histogram for 15 channel')

grid on

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

%Оценка корреляционных характеристик реализации случайного процесса.

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

G1=xcorr(A);

G2=xcorr(B);

G3=xcorr(C);

G12=xcorr(A,B);

G13=xcorr(A,C);

G23=xcorr(B,C);

figure(3)

t=(-2047:2047);

subplot(3,1,1)

plot(t,G1)

title('AKF for 11 channel')

grid on

xlim([-300 300])

subplot(3,1,2)

plot(t,G2)

title('AKF for 13 channel')

grid on

xlim([-300 300])

subplot(3,1,3)

plot(t,G3)

title('AKF for 15 channel')

grid on

xlim([-300 300])

figure(4);

t=(-2047:2047);

subplot(3,1,1)

plot(t,G12)

title('VKF 11 and 13 channel')

grid on

xlim([-300 300])

subplot(3,1,2)

plot(t,G13)

title('VKF 11 and 15 channel')

grid on

xlim([-300 300])

subplot(3,1,3)

plot(t,G23)

title('VKF 13 and 15 channel')

grid on

xlim([-300 300])

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

% Оценка спектральных характеристик реализации случайного процесса

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

figure(5)

s=512;

w=tukeywin(s);

plot(w)

grid on

title('Window Tukey')

figure(6);

for i=1:3

subplot(2,3,i)

periodogram(D(:,i),[],[],100);

title('SPM without Window Tukey')

grid on

end

for d=1:3

subplot(2,3,d+3)

periodogram(D(1:512,d),w,[],100);

title('SPM with Window Tukey')

grid on

end

figure(7);

for m=1:3

l=256*2^m;

w=tukeywin(l);

subplot(2,3,m)

periodogram(D(:,m),[],[],100);

title(['SPM without Window Tukey for length ',int2str(l)])

grid on

end

for y=1:3

l=256*2^y;

w=tukeywin(l);

subplot(2,3,y+3)

periodogram(D(1:l,y),w,[],100);

title(['SPM with Window Tukey for length ',int2str(l)])

grid on

end