2.5. Сведение матричной игры к задаче линейного программирования

Теория игр находится в тесной связи с линейным программированием, так как каждая конечная игра двух лиц с нулевой суммой может быть представлена как задача линейного программирования и решена симплексным методом и, наоборот, каждая задача линейного программирования может быть представлена как конечная игра двух лиц с нулевой суммой.

Рассмотрим игру двух лиц с нулевой суммой, заданную платежной матрицей

.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. и , то решение игры представлено в смешанных стратегиях и .

Применяя первым игроком оптимальной стратегии должно обеспечить ему при любых действиях второго игрока выигрыш не меньше цены игры.

.

Рассмотрим задачу отыскания оптимальной стратегии игрока А, для которой имеют место ограничения

Величина неизвестна, можно считать, что цена игры . Последнее условие выполняется всегда, если все элементы платежной матрицы неотрицательны, а этого можно достигнуть, прибавив ко всем элементам матрицы некоторое положительное число. Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на .

(2.1)

где

По условию . Разделим обе части этого равенства на , получим .

Оптимальная стратегия игрока А должна максимизировать величину , следовательно, функция

(2.2)

должна принимать минимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти минимум целевой функции (2.2) при ограничениях (2.1), причем на переменные наложено условие неотрицательности. Решая ее, находим значения и цену игры . Тогда оптимальные стратегии находятся по формулам .

Аналогично для второго игрока оптимальная стратегия должна обеспечить при любых стратегиях первого игрока проигрыш, не превышающий цену игры.

Преобразуем систему ограничений, разделив все члены неравенств на .

(2.3)

где

По условию . Разделим обе части этого равенства на , получим .

Оптимальная стратегия игрока В должна минимизировать величину , следовательно функция

(2.4)

должна принимать максимальное значение.

Таким образом, получена задача линейного программирования: найти максимум целевой функции (2.4) при ограничениях (2.3), причем на переменные наложено условие неотрицательности. Решая ее, находим значения .Оптимальные стратегии находятся по формулам . При этом цена игры .

Для нахождения решения игры имеем симметричную пару двойственных задач линейного программирования. Можно найти решение одной из них, а решение второй находится с использованием теории двойственности.

Пример 8. Фирма с учетом трех возможных вариантов В₁, В₂, и В₃ поведение (стратегии) партнера разработала также три стратегии А₁, А₂ и А₃ своей деятельности. Коэффициент платежной матрицы представляет собой прибыль фирмы в ситуации, в которой фирма применяет стратегию А_i, а ее партнер случайным образом для фирмы применяет стратегию В_j. Показать, что матричная игра не имеет решения в чистых стратегиях и решить ее в смешанных стратегиях, используя эквивалентность матричной игры двух игроков сводя к задаче линейного программирования.

Решение. Вводя обозначения , находим: , т.е. . Следовательно, седлова точка отсутствует и задача не имеет решения в чистых стратегиях. Следует искать решение в смешанных стратегиях: S_A=(p₁,p₂,p₃) и S_B=(q₁,q₂,q₃).

Обозначив и , составим две взаимно-двойственные задачи линейного программирования

Решаем симплексным методом одну из задач, например, задачу 2 (разрешающий элемент отмечен звездочкой).

Таким образом, и, следовательно, цена игры равна . Оптимальную стратегию S_B находим из формул , т.е. .

В соответствии с теоремами двойственных задач линейного программирования и приведенной симплексной таблицы имеем: и, следовательно, оптимальную стратегию S_A находим по формуле , т.е. .

Проверка показывает, что и . Таким образом, оптимальная стратегия партнера банка S_B=(0; 0,3077; 0,6923), самого банка S_A=(0; 0,231; 0,769). Цена игры .