4.4. Задачи для самостоятельной работы

1. Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций:

1) при условии ,

2) при условии .

2. Найти оптимальный набор продуктов , максимизирующий функцию полезности при заданных ценах и продуктов и и доходе М.

3. Предприятие выпускает изделия двух видов А₁ и А₂, при изготовлении которых используется сырье I и II. Известны запасы сырья , нормы его расхода на единицу изделия , оптовые цены за единицу изделия и себестоимость . Составить план выпуска изделий, дающий предприятию максимальную прибыль.

4. Найти оптимальное распределение ресурсов объемом не более 100 единиц между 4 потребителями, если прибыль при выделении i-му потребителю единиц ресурса равна млн. руб. При .

5. Динамическое программирование

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий быстро находить оптимальное решение в случае, когда анализируемая ситуация не содержит факторов неопределенности, но имеется большое количество вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший. Динамическое программирование подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. В принципе, задачи такого типа могут быть решены путем перебора всех возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, часто такой перебор затруднителен. В этих случаях процесс принятия оптимального решения может быть разбит на шаги (этапы) и исследован с помощью метода динамического программирования.

Решение задач методом динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э. Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Таким образом, планирование каждого шага должно проводиться с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию.

Вместе с тем динамическое программирование не является универсальным методом решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации.

Динамическое программирование применяется для решения таких задач, как: распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом или запасами; разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; формирование последовательности развития коммерческой операции и т.д.

Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных – переменную состояния S и переменную управления Х. Переменная Sопределяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k-м шаге. В зависимости от S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной X. Применение управления X на k-м шаге приносит некоторый результат и переводит систему в некоторое новое состояние . Для каждого возможного состояния на k-м шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление такое, что результат, который достигается за шаги с k-го по n-й оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана и зависит от номера шага k и состояния системы S.

Все решение задачи разбивается на два этапа. На первом этапе, который называют условной оптимизацией, отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.

После того, как функций Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией.

В общем виде задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление , переводящее систему из начального состояния в конечное состояние , при котором целевая функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Особенности математической модели динамического программирования заключается в следующем:

1. задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления;

2. целевая функция (выигрыш) является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага: ;

3. выбор управления на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

4. состояние системы после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы и этого управляющего воздействия (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния: ;

5. на каждом шаге управления зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы зависит от конечного числа параметров;

6. оптимальное управление представляет собой вектор , определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений: , число которых и определяет количество шагов задачи.

Условная оптимизация. На данном этапе отыскиваются функции Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратно прогонки. На последнем n-м шаге найти оптимальное управление и значение функции Беллмана не сложно, так как , где максимум ищется по всем возможным значениям .

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге:

.

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления Х.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S₀), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге , применение которого переведет систему в состояние , зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага.

5.1 Задача об оптимальном распределении инвестиций.

Требуется вложить имеющиеся Т единиц финансовых средств в n предприятий, прибыль от которых в зависимости от количества вложенных средств

			…		…
			…		…
			…		…
	…	…	…		…	…
			…		…

где - прибыль i-го предприятия при вложении в него средств.

Математическая модель задачи будет следующей.

Определить вектор , удовлетворяющий условиям

,

И обеспечивающий максимум целевой функции

.

Процесс оптимизации разобьем на n шагов, на k-м шаге будем оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При этом на них расходуются не все средства, а некоторая меньшая сумма , которая и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-м шаге назовем величину средств, вкладываемых в k-е предприятие. В качестве функции Беллмана на k-м шаге в этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестировании осталось средств. При вложении в k-е предприятие средств получим прибыль , а система к (k+1)-му шагу перейдет в состояние , т.е. на инвестирование предприятий с (k+1)-го до n-го останется средств.

Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k=n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-го предприятия. При этом на его инвестирование может выделяться количество средств , . Чтобы получить максимум прибыли с этого последнего предприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. и .

На каждом из последующих шагов для вычисления функции Беллмана следует использовать результаты предыдущего шага. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена предприятиями с k-го по n-е, равна

, .

Максимум этого выражения достигается на некотором значении , которое и является оптимальным управлением на k-м шаге для состояния системы . Аналогично можно отыскать функции Беллмана и оптимальные управления вплоть до шага .

Функция Беллмана представляет собой максимально возможную прибыль со всех предприятий (с 1-го по n-е), а значение , на котором достигается максимум прибыли, является оптимальным количеством средств, которое необходимое вложить в 1-е предприятие. Для всех последующих шагов вычисляется величина и оптимальным управлением на k-м шаге является то значение , которое доставляет максимум прибыли при соответствующем состоянии системы .

Пример 13. Распределить T=40 ден. ед. по трем предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли. Прибыль с предприятий задается таблицей

Х
0	0	0	0
10	17	21	19
20	23	25	24
30	34	30	29
40	40	37	32

Решение:

I этап. Условная оптимизация

I-й шаг. k=3. Предполагаем, что все средства 40 ден. ед. переданы на инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальная прибыль составит .

Таблица 2.

	0	10	20	30	40
0	0	-	-	-	-	0		0
10	-	19	-	-	-	19		10
20	-	-	24	-	-	24		20
30	-	-	-	29	-	29		30
40	-	-	-	-	32	32		40

2-й шаг. k=2. Определяем оптимальную стратегию инвестирования во второе и третье предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид

.

На его основе рассчитываются данные

Таблица 3.

	0	10	20	30	40
0	0+0	-	-	-	-	0	0
10	0+19	21+0	-	-	-	21	10
20	0+24	21+19	25+0	-	-	40	10
30	0+29	21+24	25+19	30+0	-	45	10
40	0+32	21+29	25+24	30+19	37+0	50	10

3-й шаг. k=1. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид

.

На его основе находим данные.

Таблица 4.

	0	10	20	30	40
0	0+0	-	-	-	-	0	0
10	0+21	17+0	-	-	-	21	0
20	0+40	17+21	23+0	-	-	40	0
30	0+45	17+40	23+21	34+0	-	57	10
40	0+50	17+45	23+40	34+21	40+0	63	20

II этап. Безусловная оптимизация

I-й шаг. По данным таблицы 4 максимальный доход при распределении 40 ден. ед. между тремя предприятиями составляет . При этом первому предприятию нужно выделить ден.ед.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий:

ден. ед.

По данным таблицы 3 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 20 ден. ед. между вторым и третьим предприятиями составляет ден. ед. при выделении второму предприятию ден. ед.

3-шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия:

ден. ед.

Из таблицы 2 находим и ден. ед.

Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий , обеспечивающий максимальный доход, равен

ден. ед.

5.2 Задача инвестирования

Предположим, что в начале каждого из следующих n лет необходимо сделать инвестиции Р₁, Р₂, …,Р_n. Вы имеет возможность вложить капитал в два банка: первый банк выплачивает годовой сложный процент r₁, а второй – r₂. Для поощрения депозитов оба банка выплачивают новым инвесторам премии в виде процента от вложенной суммы. Премиальные меняются от года к году, и для i-го года равны и в первом и втором банках соответственно. Они выплачиваются в конце года, на протяжении которого сделан вклад, и могут быть инвестированы в один из двух банков на следующий год. Это значит, что лишь указанные проценты и новые деньги могут быть инвестированы в один из двух банков. Размещенный в банке вклад должен находится там до конца рассматриваемого периода. Необходимо разработать стратегию инвестиций на следующие n лет.

Элементы модели динамического программирования таковы.

1. Этапы i представляется порядковым номером года i, i=1, 2, …, n.

2. Вариантами решения на i-м этапе (для i-го года) являются суммы и инвестиций в первый и второй банк соответственно.

3. Состоянием на i-м этапе является сумма денег на начало i-го года, которые могут быть инвестированы.

По определению . Следовательно,

(5.1)

где Сумма денег , которые могут быть инвестированы, включает лишь новые деньги и премиальные проценты за инвестиции, сделанные на протяжении (i-1)-го года.

Пусть - оптимальная сумма инвестиций для интервала от i-го до n-го года при условии, что в начале i-го года имеется денежная сумма . Обозначим через накопленную сумму к концу n-го года при условии, что и - объемы инвестиций на протяжении i-го года в первый и второй банк соответственно, .

Сформулируем задачу в следующем виде:

Максимизировать

где

Премиальные за n-й год являются частью накопленной денежной суммы от инвестиций, в выражения для добавлены и .

В данном случае рекуррентное уравнение для обратной прогонки в алгоритме динамического программирования имеет вид

где выражается через в соответствии с формулой (5.1), а .

Пример 14. Необходимо инвестировать 4000 долл. сейчас и 2000 долл. в начале каждого года, от второго до четвертого, считая от текущего года. Первый банк выплачивает годовой сложный процент 8% и премиальные на протяжении следующих четырех лет в размере 1,8; 1,7; 2,1 и 2,5% соответственно. Годовой сложный процент, предлагаемый вторым банком, на 0,2% ниже, чем предлагает первый банк, но его премиальные на 0,5% выше. Задача состоит в максимизации накопленного капитала к концу четвертого года.

Решение. Используя обозначения, имеем следующее.