Глава 1. Линейные цепи.

1.1 Основные определения.

Радиоэлектронной (радиотехнической) цепью принято называть совокупность соединенных определенным образом активных и пассивных элементов, предназначенных для прохождения, изменения и преобразования электрических токов.

Пассивные элементы – резисторы, катушки индуктивностей (индуктивности), конденсаторы, соединительные проводники – передают, потребляют или накапливают электромагнитную энергию.

Активные элементы, входящие в состав радиоэлектронных цепей, способны вырабатывать электромагнитную энергию или преобразовывать электрические колебания одной формы (частоты) в колебания другой формы (частоты). К ним относятся источники питания, биполярные и полевые транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы и прочее.

По признаку зависимости параметров элементов от приложенных напряжений и протекающих в них токов радиотехнические цепи делятся на три основных класса:

• линейные цепи с постоянными параметрами (линейные цепи);

• линейные цепи с переменными параметрами или параметрические цепи;

• нелинейные цепи.

Линейные цепи содержат в своем составе пассивные и активные элементы, параметры которых не зависят от протекающих в них токов и приложенных напряжений. Аналитически такие цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

К линейным цепям применим принцип суперпозиции (наложения), суть которого можно сформулировать так: отклик (выходной сигнал) линейной цепи на сложное (суммарное) воздействие нескольких входных источников равен алгебраической сумме откликов на воздействие (входной сигнал) каждого источника в отдельности. В математической форме этот принцип выражается следующим простым равенством:

T[u₁(t)+ u₂(t)+…] = T[u₁(t)]+T[u₁(t)]+…, (1.1)

где T – оператор, характеризующий вид воздействия линейной цепи на входной сигнал.

Естественно возникает вопрос: чем линейные (и другие) радиотехнические цепи отличаются от линейных электрических цепей? Это деление довольно условно, и традиционно принято считать, что радиотехнические цепи предназначены для работы с сигналами радиочастотного диапазона и могут содержать усилительные элементы. Итак, радиотехнические линейные цепи, в отличие от электрических цепей, способны не только передавать, формировать, делить и фильтровать, но одновременно с этим и усиливать входные сигналы. Поэтому в последнее время линейные радиотехнические цепи специалисты называют линейными системами.

1.2. Генераторы тока и напряжения.

Всякая электрическая цепь содержит хотя бы один активный элемент – генератор, являющийся преобразователем какого-либо вида энергии (тепловой механической и т.п.) в электромагнитную энергию колебаний определенной формы.

Генератор, питающий цепь постоянного тока, независимо от его принципа действия и устройства, имеет два внешних зажима а-а (рис.1.1), к которым может быть подключено сопротивление нагрузки r.

При отключенной нагрузке, т.е. при холостом ходе (рис1.1а) на зажимах источника развивается напряжение, равное электродвижущей силе источника: U_xx=E. При нагрузке генератора на сопротивлении r (рис.1.2б) напряжение уменьшается тем в большей степени, чем больше ток I. При коротком замыкании (r=0) напряжение становится равным нулю, т.е. U_кз=0.

Зависимость напряжения на зажимах источника от тока, им отдаваемого, U(I) называется внешней характеристикой.

а) б)

Рис.1.1

При отключенной нагрузке, т.е. при холостом ходе (рис 1.1а) на зажимах источника развивается напряжение, равное электродвижущей силе источника: U_xx=E. При нагрузке генератора на сопротивлении r (рис.1.1б) напряжение уменьшается тем в большей степени, чем больше ток I. При коротком замыкании (r=0) напряжение становится равным нулю, т.е. U_кз=0.

Зависимость напряжения на зажимах источника от тока, им отдаваемого, U(I) называется внешней характеристикой.

В зависимости от постановки задачи можно строить внешнюю характеристику или в координатах U(I) (рис1.2а), или в координатах I(U) (рис.1.2б)

а) б)

Рис.1.2

Изучение и расчет электрической цепи существенно упрощается, если произвести замену реального генератора некоторой эквивалентной схемой. Возможны две основные эквивалентные схемы генератора.

а. Последовательная эквивалентная схема генератора.

Уравнение прямой, изображающей внешнюю характеристику источника можно, исходя из рис.1.2а, записать в виде:

U=U_xx-R_iI, (1.2)

Здесь постоянный коэффициент R_i=U_xx/I_кз имеет размерность сопротивления и называется внутренним сопротивлением генератора. Экспериментально его можно определить, произведя два опыта: холостого хода и короткого замыкания. Таким образом, внутреннее сопротивление является расчетным параметром генератора.

Из уравнения (1.2) получим:

U_xx=E=U+IR_i=Ir+IR_i . (1.3)

Выражение (1.3), описывающее процессы в цепи с реальным генератором, вместе с тем является уравнением второго закона Кирхгофа для цепи, изображенной на рис. 1.3. Часть схемы, показанная левее точек а-а и отмеченная штриховой рамкой, очевидно, и представляет собой эквивалентную схему генератора и может быть названа последовательной эквивалентной схемой генератора.

Рис.1.3. Рис.1.4.

Напряжение на нагрузке может быть записано как

(1.4)

Оно тем ближе к величине Е, чем меньше отношение т.е., если внутреннее сопротивление генератора много меньше сопротивления внешней цепи, он по своим свойствам приближается к генератору э.д.с, т.е. к идеальному генератору напряжения.

б. Параллельная эквивалентная схема.

Исходя из графика на рис.1.2б, уравнение характеристики генератора можно записать в ином виде, а именно:

I=I_кз –G_iU, (1.5)

где G_i=I_кз/U_хх=1/R_i.

Коэффициент G_i, равный обратной величине введенного выше внутреннего сопротивления, может быть назван внутренней проводимостью генератора.

Из (1.5) получим:

I_кз=I_г=UG_i+I. (1.6)

Уравнение (1.6), справедливое для цепи, питаемой реальным генератором, вместе с тем выражает первый закон Кирхгофа для схемы, показанной на рис. 1.4. Здесь ток I_г=I_кз, генерируемый некоторым воображаемым источника тока, разветвляется: ток I_i=UG_i проходит через внутреннюю проводимость G_i, подключенную параллельно генератору тока, ток I- через проводимость нагрузки g=1/r.

Из сказанного видно, что часть схемы (рис1.4), расположенный левее точек а-а, можно рассматривать как эквивалентную схему генератора, которую принято называть схемой с генератором тока или параллельной эквивалентной схемой.

Из (1.6) вытекает, что напряжение на нагрузке

(1.7)

а ток нагрузки

(1.8)

Если т.е. внутреннее сопротивление очень велико по сравнению с сопротивлением нагрузки r, то приближенно из схемы можно исключить ветвь ; тогда действительный генератор будет близок по своим свойствам к идеальному генератору тока.

Обе рассмотренные схемы являются в одинаковой степени расчетными (фиктивными) и в тоже время в равной мере справедливыми для расчета напряжений и токов во внешних по отношению к генератору элементах схемы цепи. Какой из этих схем пользоваться, принципиально безразлично. Из отмеченного ранее следует, что в случае генератора с малым внутренним сопротивлением целесообразнее пользоваться схемой с генератором э.д.с., а если внутреннее сопротивление велико – схемой с генератором тока. К этому надо добавить, что, если нагрузка составлена из ряда последовательно соединенных сопротивлений, удобнее производить расчет, базируясь на эквивалентной схеме с генератором э.д.с.; в случае, когда нагрузка состоит из ряда параллельно соединенных элементов, проще использовать схему с генератором тока.

в. Метод замены нескольких соединенных параллельно генераторов э.д.с. одним эквивалентным. Если имеется несколько генераторов э.д.с. Е₁, Е₂…, Е_n и внутренними сопротивлениями R₁, R₂,… R_n, работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рис.1.5а), то они могут быть заменены одним эквивалентным генератором Е_эк, а внутреннее сопротивление R_эк (рис.1.5б).

а) б)

Рис. 1.5

При этом

. (1.9)

Ток в сопротивлении R

. (1.10)

Ток в каждой ветви

(1.11)

где

г. Метод замены параллельно соединенных генераторов тока одним эквивалентным. Если несколько генераторов тока с токами I₁, I₂… I_n и внутренними проводимостями G₁, G₂,… G_n соединены параллельно (рис.1.6а),

а ) б)

Рис. 1.6

то их можно заменить одним эквивалентным генератором тока (рис.1.6б), ток которого I_эк равен алгебраической сумме токов, а внутренняя проводимость G_эк равна сумме внутренних проводимостей отдельных генераторов:

(1.12)

(1.13)