Глава6. Переходные процессы в линейных цепях.

6.1. Введение

В предыдущих главах рассматривались методы расчета линейных цепей в установившемся режиме. Тем самым предполагалось, что исследуемые цепи были подключены к источникам электромагнитной энергии столь давно, что к моменту исследования токи и напряжения на участках цепей успевали приобрести установившийся характер. Это следует понимать в том смысле, что при питании цепей источниками постоянных э.д.с. или токов токи и напряжения на участках цепей становились величинами также постоянными, не зависящими от времени. Когда же цепи питают источниками периодических э.д.с. или токов, реакции цепей в виде токов или напряжений на участках принимают в установившемся режиме также форму периодических функций времени. Однако цепи, содержащие индуктивности и емкости, как бы обладают инерцией. Установившийся режим в таких цепях наступает после подключения к источнику не мгновенно, а постепенно через некоторое время. Теоретически это время бесконечно велико, а практически может измеряться миллисекундами и даже микросекундами.

При включениях и выключениях источников, при внезапном изменении параметров и схем цепей, при скачкообразном изменении э.д.с. и задающих токов наступает неустановившийся режим. Он представляет собой режим перехода от одного установившегося состояния к другому. Поэтому его и называют переходным режимом. В переходном режиме токи в цепи не могут быть ни постоянными, ни периодическими функциями времени.

Всякому установившемуся режиму линейной электрической цепи, содержащей накопители энергии в виде индуктивностей и емкостей, соответствует определенное энергетическое состояние, и переходной процесс требует времени потому, что переход от энергетического состояния к другому скачком произойти не может.

Возникновение таких процессов связано с особенностями изменения энергии электромагнитного поля в реактивных элементах. Из физических соображений ясно, что энергия поля в индуктивностях и емкостях системы не может меняться мгновенно. Изменение энергии за единицу времени, как известно, представляет собой мощность, отдаваемую или потребляемую соответствующим элементом схемы, т.е. dw/dt=p. Если допустить, что энергия меняется скачком, то величина производной обращается в бесконечность, и, следовательно, мощность р принимает бесконечно большое значение. Последний вывод, разумеется, не имеет смысла.

Таким образом, в цепи с реактивными элементами величины, определяющие запас энергии, при переходе к новому стационарному состоянию должны меняться во времени плавно без скачков. Из сказанного следует, что в ветвях с индуктивностями невозможно мгновенное (скачкообразное) изменение токов. Если момент коммутации рассматривать как начало отсчета времени, то равенство токов перед коммутацией при t=0_- и сразу после коммутации при t=0₊ записывается в следующем виде:

(6.1)

То же самое можно сказать о напряжении на емкости. Напряжение на емкости не может изменяться мгновенно (скачкообразно). Равенство напряжений на емкости непосредственно перед коммутацией и сразу после коммутации можно записать подобно равенству (1.1):

(6.2)

Эти условия для токов в индуктивностях и напряжений на емкостях следует рассматривать как основные законы коммутации.

Отметим, что напряжение на индуктивности и ток на емкости имеют право изменяться скачком, так как от этих величине зависит энергия в цепи и, следовательно, их скачкообразное изменение не требует скачкообразного изменения энергии.

Переходные процессы в некоторых электрических цепях, устройств связи, автоматики, импульсной и телевизионной техники являются рабочими процессами при нормальной эксплуатации этих устройств. В отдельных случаях переходные процессы сопровождаются нежелательными явлениями. На отдельных участках цепи возникают повышенные напряжения или наблюдаются увеличение токов. Исследование переходных процессов позволяют в таких случаях разработать меры, уменьшающие интенсивность и длительность опасных для аппаратуры перенапряжений и сверхтоков. Поэтому изучение и расчет токов и напряжений в переходных режимах в электрических цепях является важной инженерной задачей. Рассчитать электрическую цепь в переходном режиме означает найти зависимости токов и напряжений или других переменных от времени, прошедшего от момента коммутации до момента наблюдения этих величин. Момент коммутации обычно принимается за начало отсчета времени.

В зависимости от энергетического состояния электрического состояния электрической цепи различают два вида задач. Если электрическая цепь непосредственно перед коммутацией не обладала запасом энергии, т.е. токи на индуктивностях и напряжения на конденсаторах были равны нулю, то расчет цепи является задачей с нулевыми начальными условиями.

и

Если электрическая цепь перед коммутацией обладала запасом энергии, то определение токов и напряжений в переходном режиме представляет задачу с ненулевыми начальными условиями:

Для расчета токов и напряжений в переходном режиме в разветвленной электрической цепи составляется система уравнений по законам Кирхгофа. Правила составлений уравнений остаются теми же, которые использовались при расчетах мгновенных значений токов и напряжений в установившемяс режиме.

Мгновенные значения напряжений и токов на отдельных элементах цепи представлены в таблице 6.1

Таблица 6.1.

Элемент цепи	Напряжение	Ток

Так как мгновенные значения напряжений и токов в реактивных элементах цепи связаны между собой дифференциальными (или интегральными) соотношениями, составленные уравнения Кирхгофа оказываются дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями.

Например, для цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R, L и C (рис. 6.1) уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид

Рис.6.1

При замене трех переменных одной это уравнение можно переписать в нескольких формах.

Если в качестве основной искомой переменной выбирается ток , предыдущее равенство превращается в интегро-дифференциальное уравнение:

Чтобы получить дифференциальное уравнение, нужно обе части уравнения продифференцировать, т.е.

Если в качестве основной искомой переменной выбирается напряжение на емкости, то при подстановке тоже получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Для расчетов токов и напряжений в переходном режиме в сложной электрической цепи можно воспользоваться также методом контурных токов или узловых напряжений. Полученная система должна быть приведена к одному уравнению с одной переменной. В качестве искомой переменной целесообразно выбирать ту, для которой известно или можно определить начальное значение. Эта переменная должна подчиняться основному закону коммутации (6.1, 6.2).

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях, когда параметры цепей постоянны, уравнения, составленные любым из методов расчета электрических цепей, обязательно приведут к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Если исследуемая электрическая цепь после коммутации будет содержать источники энергии, полученное уравнение окажется неоднородным дифференциальным уравнением с правой частью. К правой части уравнения относятся все слагаемые, содержащие э.д.с. и задающие токи генераторов.

В общем случае процессы в линейной цепи описываются линейным дифференциальным уравнением n-го порядка

(6.3)

Здесь y(t) – искомая функция; F(t) – известная функция, зависящая от внешнего воздействия; - постоянные коэффициенты.