1.2.1. Системы счисления. Двоичная система счисления

Одно и то же число может быть представлено в различных системах счисления. Привычной для нас является десятичная система счисления, в которой для записи чисел используются 10 различных цифр: 0, 1, 2, ..., 9.

При записи чисел используется ПОЗИЦИОННАЯ система, при которой значение одной и той же цифры зависит от ее места в записи.

Запись чисел осуществляется справа налево. Крайняя справа цифра означает ЕДИНИЦЫ, та же цифра, смещенная на одну позицию влево, означает уже ДЕСЯТКИ, еще левее - СОТНИ и т.д.:

6421 = 6*10³ + 4*10² + 2*10¹ + 1*10⁰

тысячи сотни десятки единицы

Количество различных цифр, используемых для представления чисел, называют ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Если основание системы D, то перевод чисел из этой системы в десятичную систему осуществляется по следующей формуле:

N = a_n-1*D^n-1+a_n-2*D^n-2+ ... + a₁*D¹+a₀*D⁰,

где а_n-1а_n-2 ... а₁а₀  - число, записанное в системе счисления с основанием D.

В двоичной системе, то есть в системе с основанием 2, для записи чисел используются 2 цифры: 0 и 1.

Например:

10011011 ₂

Это двоичное 8-ми разрядное число, которому в десятичной системе соответствует значение 1*2⁷+0*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+1*2³ + 0*2² +1*2¹+1*2⁰ =157₁₀,

то есть 10011011₂ =157₁₀ .

Преобразование числа из десятичной системы в двоичную осуществляется несколько сложнее, путем многократного деления числа на 2. Если на некотором шаге деления возникает остаток, то в соответствующий разряд двоичного числа записывается 1. если остатка нет, то записывается 0. Например:

29 : 2 = 14 - остаток 1

14 : 2 = 7 - остаток 0

7 : 2 = 3 - остаток 1

3 : 2 = 1 - остаток 1

1 : 2 = 0 - остаток 1

Двоичное число: 1 1 1 0 1

Очевидно, что представление чисел в двоичной системе длиннее, чем в десятичной. Но этот недостаток в компьютерах компенсируется за счет простоты технической реализации устройств хранения информации, использующих бистабильные (имеющие два возможных состояния) элементы.

Арифметические операции над двоичными числами осуществляются так же, как и над десятичными, только перенос единицы в старший разряд осуществляется, как только предыдущий разряд становится равным 2.

Например:

7 = 111

+

5 = 101

12 = 1100

Отрицательные числа в компьютерах представляются в ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ. Для получения дополнительного кода двоичного числа необходимо инвертировать это число (заменить все 0 на 1, а 1 на 0) и прибавить в младшем разряде 1.

Например: Используется 6 разрядное представление двоичных чисел. 7 = 000111; -7 = 111001 - это дополнительный код.

Дополнительный код получен так:

1) инверсия 000111 равна 111000:

2) добавляем 1:

111000

+ 1

111001 - это представление числа -7 в дополнительном коде.

При таком представлении чисел вычитание двух чисел А - В выполняется как сложение А + (-В).

Например: 001100 = 12

+

111001 = -7 в дополнительном коде

(1) 000101 = 5

единица переноса в старший разряд при выполнении операции

отбрасывается.

Таким образом, отпадает необходимость в отдельном устройстве для операции вычитания.

Сдвиг числа на один разряд влево увеличивает число в 2 раза; сдвиг на один разряд вправо - уменьшает его в 2 раза:

001100 = 12 001100 = 12

011000 = 24 000110 = 6

В компьютерах числа представляются в двоичной форме с определенным количеством разрядов. Обычно разрядность компьютеров равна одному из следующих значений: 8, 16, 32, 64.

Ограниченная разрядность приводит к ограничению диапазона используемых чисел. Если разрядность компьютера равна n, то количество различных чисел, которые можно представить с помощью n-разрядных двоичных последовательностей будет равна

N = 2ⁿ

Например, если разрядность компьютера равна 16, то количество различных двоичных последовательностей будет равно

2¹⁶ = 2⁶⁺¹⁰ = 64 * 1024 = 65536.

Для измерения количества информации используются следующие единицы:

• один двоичный разряд, в котором можно записать два возможных значения - 0 или 1 - называется БИТ;

• 8 последовательных двоичных разрядов (8 бит) называется БАЙТОМ; с помощью 1 байта можно представить 2⁸ = 256 различных двоичных последовательностей;

• 1024 байта называется КИЛОБАЙТом (сокращенно – Кбайт или просто К);

• 1024 Кбайта называют МЕГАБАЙТом (сокращенно - Мбайт или просто М).