Оценки сложности задачи ВО
Задача сортировки:
Вход: X = (x1,x2, …, xn). Размер задачи - n. Задача ВО:
Вход: S = (p1, p2, …, pn), где pj = (xj, yj). Размер задачи - n.
Выход:
CH(S) - упорядоченный список вершин ВО
Преобразование CH(S) Sort(X)
1) Преобразование входа CH(S): Найти «нижнюю» крайнюю точку.
2)Сортировка по полярному углу – Sort
3)Преобразование выхода Sort в выход CH(S) –
обход Грэхема.
Отсюда – задача ВО м.б. решена за время O(n log n).
Это верхняя оценка.
Преобразование Sort(X) CH(S)
1) Преобразование входа X S: pj = (xj, xj2). Точки pj лежат на параболе.
2)Построение CH(S)
3)Найти точку p* с минимальным значением x (за O(n)).
Пройти по списку и получить
упорядоченный набор sort(X) (за O(n)).
Отсюда – задача ВО имеет нижнюю оценку сложности (n log n).
Алгоритм на основе сбалансированного разделения и слияния
Алгоритм на основе слияния выпуклых оболочек (1)
•Func MergeCH(S): List;
•begin
•if S k then Построить CH(S) прямым методом
•else
•{1:} Найти S1 и S2 – разбиение S, такое, что S1 S2 ;
•{2:} P1 := MergeCH(S1); P2 := MergeCH(S2);
•{3:}Return CH_Union_ConvP(P1, P2)
•fi
•end { MergeCH }
Алгоритм на основе сбалансированного разделения и слияния
func CH_Union_ConvP(P1, P2): List;
{Выпуклая оболочка выпуклых многоугольников P1 и P2} begin
Найти точку p ] P1 [ ; {т.е. точку p – внутреннюю для P1 } if not (p ] P2 [ )
then
Найти клин upv {u, v P2} и освещенную цепь u v;
Удалить цепь ] u v [ из P2, т.е. P2 :=P2 \ { ] u v [ }
fi;
{ P1 и P2 упорядочены относительно точки p}
L := Слияние списков (L(P1), L(P2));
Применить обход Грэхема к L (результат: P);
Return P
end { CH_Union_ConvP }
Сложность алгоритма сбалансированного разделения и слияния
Рекуррентное соотношение:
T(n) 2T(n/2) + u(n), n>1. При n=1 T(n)=b. Пусть u(n) = O(n), т.е. u(n) a*n. Докажем, что T(n) = O(n log n),
т.е. T(n) С1 n log n + C2, где С1 = а+b, C2 = b. Действительно,
T(n) 2 (С1 (n/2) log (n/2) + C2) + a*n =
=С1n log n + 2C2 – С1n + a*n = С1n log n + b +(b-bn)
С1 n log n + C2
Общая идея метода «разделяй и властвуй»
“Divide et impera”
Три стадии:
1.Разделение – разбиение данных на две или более составляющих (части); если размер данных меньше некоторой пороговой величины, то возвращается готовый результат.
2.Рекурсия – рекурсивно решается каждая из подзадач для составляющих.
3.Слияние – полученные результаты для составляющих объединяются (сливаются) в единый результат.
Быстрая сортировка – тоже пример подхода «разделяй и властвуй». Основные фазы: разделение и рекурсивные вызовы. Фаза слияния тривиальна и не требует дополнительных действий.
Сложность алгоритма сбалансированного разделения и слияния
Рекуррентное соотношение: T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + u(n);
T(1) = b. Разделение+Слияние: u(n) an; Тогда T(n) = O(n log2n).
Сложность алгоритма сбалансированного разделения и слияния
(1) Итеративное решение Пусть n = 2q (для простоты).
Тогда T(n) = 2T(n/2) + an; T(1) = b. T(n) = 2(2T(n/22) + an/2) + an= 22T(n/22) + 2an= = 22(2T(n/23) + an/22) + 2an= 23T(n/23) + 3an= =…= 2kT(n/2k) + kan;
При k=q: T(n/2k) =T(1) = b, 2k = n, q = log2n
T(n) = 2kT(n/2k) + kan = bn + an log2n Cn log2n ,
где С = a + b (например).
Т.о. T(n) = O(n log2n).
Сложность алгоритма сбалансированного разделения и слияния
(2) По индукции покажем, что решение T(n) = T( n/2 ) + T( n/2 ) + u(n); T(1) = b при u(n) = O(n) есть T(n) = O(n log2n).
Пусть u(n) аn и T(k) Ck log2k при k < n. T(n) C n/2 log2 n/2 + C n/2 log2 n/2 + аn
x x, x < x + 1
C n/2 log2(n/2)+ C n/2 log2 (n/2 +1) + аn