При каких условиях для решения оптимизационных задач используются методы линейного программирования? Какие «классические» задачи линейного программирования Вы знаете?
Оптимизация методом линейного программирования
Если в математической постановке задачи оптимизации целевая функция и ограничения на другие функции линейные, то для ее решения применяется метод линейного программирования. Методами линейного программирования решены следующие типовые задачи.
1. Задача о поставщиках.
2. Задача о рационе.
3. Задача о планировании производства.
4. Транспортная задача.
Задача о поставщиках
Постановка задачи:
…
где
– стоимость единицы потребляемого
товара от i-го
поставщика;
– максимальное количество производимого
товара i-м
поставщиком;
– количество товара, закупаемого у i-го
производителя.
При наличии таких ограничений постановка задачи фактически сводится к постановке задачи оптимизации
Какое условие к оптимизируемой функции должно выполняться, чтобы можно было использовать метод Ньютона? Как по-другому называется метод Ньютона и почему он имеет такое название?
Метод Ньютона
Для
решения оптимизационных задач с
нелинейными функциями можно использовать
метод Ньютона (метод касательных). Метод
Ньютона требует, чтобы
оптимизируемая функция была дважды
дифференцируема. В экстремальной точке
производная функции
равна нулю и корень уравнения
можно искать приближенно методом
касательных, который заключается в
построении последовательных приближенных
,
следующим образом.
В
точке
строится касательная и точка пересечения
касательной с осью абсцисс
берется в качестве следующего приближения
.
Вычисления
продолжают до тех пор, пока не выполнится
неравенство
,
после чего полагают экстремальное
значение
.
Замечания:
1. Если начальное приближение сравнительно близко к , то метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость в поиске экстремума.
2. Если начальное приближение выбрано недостаточно близко, то для поиска экстремума может потребоваться значительное количество итераций, а в принципе, неудачный выбор может привести к расходящемуся процессу, т.е. будем удаляться от экстремальной точки.
Для
вычисления шага изменения значения
аргумента
в итерационном процессе проведем
следующие преобразования: