Определение требуемого количества реализаций на основании неравенства Чебышева

Если условия центральной предельной теоремы теории вероятностей не выполняются весьма различающихся параметров одних и тех же законов например, если сравнительно невелико количество случайных чисел или они выработаны при недостаточно общих условиях, то применяют неравенство Чебышева.

Взяв вместо переменной Х оценку математического ожидания и преобразовав предыдущую формулу, получим формулу для вычисления количества реализаций случайной величины для получения результатов с заданной достоверностью:

.

54. Какой показатель используется для оценки степени корреляционной связи между переменными? Какие рекомендации можно выдать по степени корреляционной зависимости между переменными при получении уравнений регрессии?

    Корреляционный анализ

Корреляция – это соотношение (взаимозависимость) случайных величин между собой. В качестве количественной меры оценки взаимосвязи между случайными величинами используется коэффициент линейной корреляции, вычисляемый для случайных величин х и у по n экспериментальным данным по следующей формуле.

Если коэффициент линейной корреляции близок к 1, то корреляционная связь между переменными положительная, близкая к линейной (рис. 6.1). Если коэффициент линейной корреляции близок к –1, то корреляционная связь между переменными отрицательная, близкая к линейной (рис. 6.2). Если коэффициент линейной корреляции близок к нулю, то между переменными имеется слабая корреляционная связь (рис. 6.3). Для независимых переменных коэффициент линейной корреляции равен нулю.

Рис. 6.1 Рис. 6.2

Оценить существенность коэффициента линейной корреляции между случайными переменными по критерию Стьюдента можно при условии, что распределения этих случайных величин подчиняются нормальному закону и что они имеют совместное двумерное нормальное распределение.

Коэффициент линейной корреляции является случайной величиной, и поэтому для него может быть вычислена стандартная ошибка

По статистическим таблицам находим критическое значение коэффициента линейной корреляции.

. (6.3)

В случае, если значение коэффициента линейной корреляции, вычисленное по формуле (6.1), по абсолютной величине не меньше 0,8, то можно ожидать наличие между переменными линейной зависимости и в уравнения регрессии вводить сами факторы в первой степени. Если значение коэффициента линейной корреляции по абсолютной величине лежит в диапазоне от критического значения до 0,8, то в уравнения регрессии рекомендуется вводить сравнительно несложные функции от факторов. Если значение коэффициента линейной корреляции по абсолютному значению меньше критического, то такие факторы рекомендуется не включать в уравнения регрессии.

55. На выполнении какого условия основан метод наименьших квадратов? Приведите линейное однофакторное уравнение регрессии и двухфакторное уравнение регрессии с нелинейностью второго порядка.

    Регрессионный анализ

Регрессионный анализ основан на методе наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от вычисленных по аппроксимирующей зависимости была минимальной:

.

В лучшем случае при обработке результатов экспериментов известен вид математической зависимости между переменными, и тогда следует вычислить только неизвестные коэффициенты. Чаще всего вид математической зависимости неизвестен. В этом случае рекомендуется использовать степенные полиномы, которые при повышении степени полинома позволяют получать аппроксимирующие зависимости с любой заданной точностью. Рассмотрим самый простой пример однофакторной зависимости и проведем аппроксимацию этой зависимости линейной функцией:

(1)

Пусть проведено экспериментов, по результатам которых получены значений и значений . Чтобы для вычисления коэффициентов и использовать один и тот же алгоритм, введем в формулу (1) фиктивную переменную , всегда равную единице:

(2)

При аппроксимации двухфакторных экспериментов требуется получить полином, в который оба фактора входят в первой степени:

y = b₀х₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁x₂. (3)

Кроме того рекомендуется использовать дополнительные показатели, вводимые на основе дисперсионного анализа. Отметим, что дисперсионный анализ требует, чтобы переменные, по которым производится аппроксимация, подчинялись бы нормальному закону.

56. Какие показатели качества представления экспериментальных распределений уравнениями регрессии Вы знаете? На каком принципе основано применение дисперсионного анализа для оценки качества представления экспериментальных данных уравнениями регрессии?

Элементы дисперсионного анализа будут использованы для оценки показателей качества уравнений регрессии:

Дисперсионный анализ основан на разложении общей изменчивости результативного показателя (общей дисперсии) на объясненную дисперсию, которую удалось объяснить изменением переменных, вошедших в уравнение регрессии, и остаточную регрессию, которую объяснить не удалось.