Анализ рядов динамики.

Одна из основных задач статистики заключается в изучении процесса изменения социально-экономических явлений во времени, поскольку все явления находятся в непрерывном развитии. При анализе рядов динамики используются следующие показатели:

Абсолютный прирост – ΔY, равен разности двух сравниваемых уровней, последующего и предыдущего или начального:

ΔY = Y_i - Y_i-1,

где Y_i - любой уровень ряда, кроме первого.

Для нашей таблицы следующий расчет 226-190=+36 и т.д.

Темп роста - Т_р, равен отношению двух сравниваемых уровней:

Т_р = (Y_i / Y_i-1) * 100

226/190*100=119% и т.д.

Темп прироста - Т_пр, определяется отношением абсолютного прироста к базисному уровню:

Т_пр = (ΔY / Y_i-1) * 100%, или Т_р – 100%

119-100=19% и т. д.

Значение 1% прироста - сравнение абсолютного прироста и темпа прироста:

Значение 1% прироста = ΔY / Т_пр, или Y_i-1 / 100.

190/10=19 и т. д.

Из данной таблицы видно, что за себестоимость зерновых и зернобобовых культур увеличивается, если сравнить 2000 и 2004 г.г. то видно, что темп прироста составил 152%.

Выявление основной тенденции развития.

Одним из методов анализа и обобщения динамических рядов является выявление его основной тенденции или сокращенно тренда.

В статистической практике выявление основной тенденции развития производится тремя способами: способом скользящей средней, аналитическим (по математическому уравнению) и выравниванием по среднему абсолютному приросту.

Наиболее эффективным способом выявления тенденции является аналитическое выравнивание. Выравнивание по прямой имеет выражение: , где

t - условное обозначение времени;

а и b - параметры искомой прямой.

Параметры прямой находятся из решения системы уравнений:

,

где у - фактические уровни;

n - число членов ряда.

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась 0, т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода.

Если Σt = 0, то

Исследование динамики социально-экономических явлений и выявление их основных черт в прошлом дают основания для экстраполяции – определения будущих размеров уровня экономического явления.

Таблица 7

Годы	Уровни ряда	Усл. обозн. времени	Квад рат	Произ ведение	Расчетн. значения	Откло нения	Диспер сия остат	Диспер сия общая
Символы	y	t	t²	yt	ỹ=a+bt	yі - ỹ	(yі – ỹ)²	(yі - ¯y)²
2000	190	-2	4	-380	217,4	-27,4	750,76	32400
2001	226	-1	1	-226	293,7	-67,7	4583,29	20736
2002	544	0	0	0	370	174	30276	30276
2003	411	1	1	411	446,3	-35,3	1246,09	1681
2004	479	2	4	958	522,6	-43,6	1900,96	11881
Итого	S 1850	S 0	S 10	S 1721	S 1850		38757,1	S 96974

a=Σy/n=1850/5=370 значение выравненных приростов для центрального года в динамическом ряду при t=0

b=Σyt/Σt²=763/10=76.3 среднее повышение себестоимости в год

ỹ=370+76.3*t уравнение линейного тренда

Подставим в полученное уравнение соответствующее значение ti и рассчитаем сглаженные уровни yi.

Оценим степень приближения линейного тренда к фактическим уровням динамического ряда, для этого исчислим отклонения yi-ỹ их квадраты и сумму квадратов отклонений S(yi-ỹ)²=38757,1 а также остаточное среднеквадратическое отклонение

88,04 колебания фактической себестоимости около прямой составляют 88,04 руб.,

ли 88,04*100/370≈23,8% по отношению к среднему уровню ряда.

Проведем далее выравнивание ряда по уравнению параболы второго порядка, оно имеет вид

yi=a0+a1t+a2t²

Для нахождения параметров а0, а1, а2 составим систему нормальных уравнений как это было сделано для уравнения прямой. Система имеет следующий вид

Σyi=na0+a2 Σti²

Σyiti= Σa1ti²

Σyiti²= a0Σti ²+ a2Σti

Рассчитаем дополнительные величины и подставим в уравнение.

Годы	Уровни ряда	Усл. обозн. времени	Квад рат	Произ ведение	Расчетн. значения по парабале	Откло нения по параб.	Диспер сия остат	Дисперсия общая
Символы	y	t	t4	yt²	ỹ=a+bt	yі - ỹ	(yі – ỹ)²	(yі - y¯)²
2000	190	-2	16	760	162,12	27,88	777,29	32400
2001	226	-1	1	226	321,34	-95,34	9089,72	20736
2002	544	0	0	0	425,28	118,72	14094,44	30276
2003	411	1	1	411	473,94	-62,94	3961,44	1681
2004	479	2	16	1916	467,32	-11,68	136,42	11881
Итог	Σ 1850	Σ 0	Σ 34	Σ 3313	Σ 1850		28059,31	Σ 96974

1850=5*а0+10а2

763=10*а1

3313=10*а0+34а2

отсюда а1=763/10=76,3

далее решаем систему уравнений, для этого первое делим на 5, второе на 10.

370=а0+2а2

331,3=а0+3,4а2 вычитаем из второго уравнения первое и получаем

-38,7=1,4а2 отсюда а2=-38,7/1,4=-27,64

подставим а2 в первое уравнение 1850=5*а0+10*(-27,64) а0=425,28

y=425,28+76,3*ti+(-27,64)*t²

а0 - это выровненный уровень себестоимости

а1 - как и в уравнении прямой средняя увеличение себестоимости

а2 - ускорение возрастания себестоимости

Рассчитаем сглаженные значения себестоимости по годам.

2000 г. = 162,12

2001 г. = 321,34

2002 г. = 425,28

2003 г. = 473,94

2004 г. = 467,32

Далее чтобы проанализировать насколько точно рассчитана по параболе себестоимость, найдем отклонения yi-ỹ и квадрат отклонения, а также среднее квадратическое отклонение

74,9

Остаточное среднеквадратическое отклонение по параболе несколько меньше, чем по уравнению прямой. Случайная колеблемость около выровненного уравнения составляет 74,9*100/370=20,2% против 23,8% разница в 3,6%. Следовательно, парабола точнее воспроизводит характеризменения себестоимости за исследуемый период.

Основная тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения, отклонившиеся в прошлом могут наблюдаться в будущем. Поэтому целесообразно определить доверительный интервал прогноза.

ỹ ± tα* δy где,

ỹ– значения выравненные тем или иным способом

t – критерий Стьюдента, определяемый с входными папаметрами

α – задаваемый уровень вероятноятности и (n-m) – число степеней свободы, где n – число уровней, m – число параметров уравнения регрессии для прямой 2, для параболы 3.

δỹ - среднее квадратическое отклонение

Расчитаем доверительный интервал прогноза.

δỹ=√Σ(y-ỹ)²/ n -m=√28059,31/5-3≈118,4 среднее квадратическое отклонение.

Расчитем доверительный интервал прогноза

ỹ - tδỹ ≤ ỹ прогноза ≤ ỹ + tδỹ

467,32-4,30*118,4 ≤ y ≤ 467,32+4,30*118,4

41,8 ≤ y ≤ 976,44

t критерий Стьюдента с α = 0,05 со степенью свободы = 2, табличное значение = 4,30.

С вероятностью 95% можно утверждать, что в 2005 году себестоимость зерновых культур будет составлять не менее 41,30 руб/ц. до 976,44 руб/ц.