I. Формула Бернулли.

Теорема (частная теорема о повторении опытов). Вероятность Р_п (k) того, что в п испытаниях событие А повторится k раз и не наступит (n – k) раз определяется формулой

которая называется формулой Бернулли.

Доказательство. Найдем вероятность Р_п (k) того, что событие А произойдет ровно k раз в серии из п независимых испытаний.

Зафиксируем номера тех k испытаний, в которых произошло событие А, тогда в остальных n – k испытаниях произошло событие . Так как А и независимые, то вероятность такой последовательности событий равна:

Общее количество всех таких последовательностей равно числу сочетаний из п элементов по k , так как именно таким числом способов можно выбрать k номеров испытаний из общего числа п испытаний. При этом все такие последовательности образуют несовместные события. Тогда по теореме сложения вероятностей несовместных событий получаем искомую формулу

Замечание. Если вероятности событий вычисляются по формуле Бернулли, то говорят, что имеет место биномиальный закон распределения вероятностей.

Пример. Вероятность того, что расход электрической энергии на протяжении одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электрической энергии в течении 4 суток не превысит нормы.

Решение. Так как р = 0.75, q = 0.25 − вероятность перерасхода электрической энергии. Тогда

Замечание.

I. Вероятность того, что в п испытаниях событие А появится:

а) от k₁ до k₂ раз (0 ≤ k₁ < k₂ ≤ n)

б) хотя бы один раз

в) менее k раз

г) не более k раз

д) более k раз

е) не менее k раз

Пример. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0, 9. Какова вероятность попадания не менее трех раз из пяти выстрелов?

Решение. Пусть А − попадание не менее трех раз, А₃, А₄, А₅ − 3, 4, 5 раз соответственно. Тогда по формуле е) получим

Р (А) = Р (А₃) + Р (А₄) + Р (А₅) = Р₅ (3) + Р₅ (4) + Р₅ (5) = 0, 99144.

Этот пример показывает, что при больших п формулой Бернулли пользоваться неудобно.

II. Пусть производится п независимых опытов, каждый из которых имеет т (т ≥ r) попарно-несовместных и единственно возможных исходов А₁, А₂, , А_т с вероятностями Р (А₁) = р₁, Р (А₂) = р₂, , Р (А_т) = р_т одинаковыми во всех опытах (р₁ + р₂ +  + р_т = 1). Для произвольных целых неотрицательных чисел k₁, k₂, , k_m (k₁ + k₂ +  + k_m = n) обозначим через Р_п (k₁, k₂, , k_m) вероятность того, что в п опытах исход А₁ наступит k₁ раз, А₂ − k₂ раз, , A_m − k_m раз, тогда

Данная формула определяет полиномиальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение является частным случаем полиномиального распределения при т = 2, р₂ = 1 – р₁ = q₁.

II. Наивероятнейшее число появления события при повторении испытаний.

Определение. Число k₀, которому при заданном п соответствует максимальная биномиальная вероятность P_n (k₀) называется наивероятнейшим числом появления события А.

Определим число k₀, при котором вероятность P_n (k₀) будет наибольшей.

Очевидно, что она удовлетворяет неравенствам:

и

Рассмотрим эти соотношения

n∙p – k₀∙p + p ≥ k₀∙q;

n∙p + p ≥ k₀∙p + k₀∙q = k₀ (p + q) = k₀;

n∙p + p ≥ k₀;

k₀∙q + q ≥ n∙p – k₀∙p;

k₀∙p + k₀∙q ≥ n∙p − q;

k₀ (p + q) ≥ n∙p − q;

k₀ ≥ n∙p − q;

Итак, n∙p – q ≤ k₀ ≤ n∙p + p.

Если n∙p + p не целое, то k₀ равно целой части этого числа, т. е. k₀ = n∙p. Если n∙p + p − целое, то k₀ имеет два значения: n∙p – q и n∙p – р.

Пример. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих среди девяти семян.

Решение. По условию задачи известно, что п = 9, р = 0,8, следовательно, q = 0,2. Тогда

k₀ ≤ 9∙0,8 + 0,8 = 8.

Так как получено целое число, значит, существует два наивероятнейших числа всхожих семян: 7 = 9∙0,8 – 0,2 ≤ k₀ ≤ 9∙0,8 + 0,8 = 8. Вероятности их наибольшие и равны между собой.

Действительно,

В случае, когда число испытаний достаточно велико, формула Бернулли требует больших вычислений. В этих случаях приходится пользоваться приближенными формулами, дающими результат с достаточной степенью точности.