Геометрическая вероятность

Следующим определением, которое помогает перейти к бесконечному числу событий и широко используется на практике, является геометрическое определение вероятности − вероятности попадания точки в данную область.

Задача. Пусть область q содержится в области G. В область G наудачу брошена точка. Найти вероятность попадания точки в область q.

Определение. Вероятность попадания в область q точки, брошенной в область G, определяется формулой

где mes q − мера области q (длина, площадь, объем),

mes G − мера области G.

Предполагается, что вероятность попадания точки в область q: пропорциональна ее мере и не зависит от расположения области q в область G. Для одномерной, двумерной и трехмерной области эта формула соответственно принимает вид

где ℓ − длина, S − площадь, V − объем соответствующей области.

Пример. В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Решение. Известно, что . Тогда

Алгебра событий

Определение. Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу. Событие противоположное событию А обозначается (не А).

Геометрическое представление множества событий называется диаграммой Венна. События будем изображать в виде круга, включающего свои границы.

− заштрихованная область и означает, что событие А не произошло.

Примеры: бросание монеты − орел, решка (аверс, реверс); выстрел по мишени − попадание, промах.

Определение. Суммой, или объединением, двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них (т. е. в появлении или А, или В, или А и В вместе). Обозначается А + В или А  В.

П ример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А + В: выпадение 2, 3, 4, 6.

Аналогично определяется и обозначается сумма п событий − событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма п событий А₁, А₂, , А_п обозначается так:

или

Определение. Произведением, или пересечением, двух событий А и В называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Обозначается как А∙В или А  В (произошло и А и В).

П ример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А∙В: выпадение 6.

Определение. Разностью событий А и В называется событие, которое означает, что наступает событие А и не происходит событие В (А прошло, В − нет). Обозначается А − В или А\В.

Пример. Бросают кость. Пусть А − выпадение четного числа (2, 4, 6), В − выпадение числа, делящегося на 3 (3 и 6). Тогда А − В: выпадение 2 и 4.

О пределение. Если каждое появление события А сопровождается появлением события В, то говорят, что А влечет за собой В, или что А является частным случаем В, и пишут А  В. Если А  В, то каждое элементарное событие, входящее в А, содержится в событии В.

О пределение. Если В  А и А  В, т. е. событие А и В в данном опыте могут появиться или не появиться вместе, то их называют равносильными и пишут А = В.

Опрерации сложения и умножения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.