Свойства вероятности:

1. Р (U) = 1;

2. P () = 0;

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:

0 < P (A) < 1.

Следствие. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Пример. В урне 5 шаров пронумерованных цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Шары тщательно перемешаны. Наугад вынимается один шар, запоминается его номер и вновь возвращается в урну. После тщательного повторного перемешивания из урны вновь вынимается один шар. Определить вероятность того, что сумма очков на двух вынутых шарах будет равна 6.

Решение. Для решения задачи необходимо определить п − количество всех элементарных исходов, образующих полную группу и т − количество равновозможных исходов, благоприятствующих событию А (А − сумма очков на двух вынутых шарах, равная 6).

Возможны следующие комбинации:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5

п = 25 комбинаций единственно возможных, равновозможных исходов, образующих полную группу.

Появлению события А благоприятствуют т = 5 элементарных исходов. Тогда

Элементы комбинаторики

Комбинаторика − раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет различных комбинаций.

При вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребляемые из них.

1. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_п = п!

Пример. Р₃ = 3! = 1∙2∙3 = 6, т. е. комбинации

1, 2, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 3, 1, 2.

2. Размещениями называют комбинации, составленные из п элементов по т элементов (m < n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример. , т. е. комбинации 1, 2; 1, 3; 2, 1; 3, 1; 2, 3; 3, 2.

3. Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различных элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом

.

Пример. , т. е. комбинации 1, 2; 1, 3; 2, 3.

Таким образом, в размещениях и перестановках порядок элементов учитывается. В сочетаниях порядок элементов не учитывается.

Замечание. Выше предполагалось, что все п элементов различные. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляются по другим формулам.

1. Если среди п элементов есть п₁ элементов одного вида, п₂ элементов другого вида, и т. д. п_k элементов отличных от первых k – 1 элементов, то число перестановок с повторениями определяется формулой

где п₁ + п₂ +  + п_k = п.

Пример 1.

2. Число размещений по т элементов с повторениями из п элементов определяется формулой

Пример 2.

3. Число сочетаний с повторениями из п элементов по т элементов равно числу сочетаний без повторений из п + т – 1 элементов по т элементов, т. е.

Пример 3.

При решении задач комбинаторики используют следующие правила.

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из множества объектов т способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.

Пример 4.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из множества объектов т способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то и А и В в указанном порядке могут быть выбраны т∙п способами.

Пример 5.