Дивергенция векторного поля

Положительные заряды являются источниками электрического поля, (силовые линии поля выходят из этих зарядов). Отрицательные заряды являются стоками электрического поля, (силовые линии входят в отрицательные заряды).

Для характеристики мощности источников вводится понятие дивергенции (расходимость), определяемой формулой: , где  — малая замкнутая поверхность, ограничивающая малый объём .

Дивергенция соответствует потоку, исходящему из замкнутой поверхности, приходящему на единицу объёма.

Выражение дивергенции в декартовых прямоугольных координатах имеет вид:

,(доказывается в математике). Используя, векторно-дифферен­циальный оператор «набла», ( ) запишем дивергенцию, как скалярное произведение векторов и :

Теорема Гаусса в дифференциальном виде

Из определения дивергенции для малой замкнутой поверхности справедливо: . Для всех точек внутри этой поверхности .

Для замкнутой поверхности S больших размеров это равенство будет выполняться в интегральном виде , (2)

где V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью S. Приведённое равенство доказывается в математике и имеет название «теорема Остроградского-Гаусса».

Применив теоремы Гаусса (1) и Остроградского-Гаусса (2) видим, что левые части этих равенств одинаковы, а, следовательно, будут равны и правые части:

. Это соотношение справедливо при любом объёме V, тогда будет справедливым равенство , называемое дифференциальной формулировкой теоремы Гаусса. Выражая дивергенцию через оператор «набла» запишем, .

Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей

В некоторых случаях применение теоремы Гаусса облегчает задачу расчета электрических полей, по сравнению с интегрированием проведённым по принципу суперпозиции полей. Расчет с применением теоремы Гаусса проводят по следующей схеме:

1. Необходимо выяснить, исходя из соображений симметрии, направление силовых линий и геометрическую форму эквипотенциальных поверхностей.

2. Провести такую, воображаемую замкнутую поверхность через данную точку поля, чтобы поток напряжённости электрического поля через эту поверхность нашёлся наиболее легко (практически устно). Приравняв его к заряду, находящемуся в объёме этой поверхности (делённому на электрическую постоянную) составим уравнение, из которого найдем напряженность электрического поля E.

Поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости

С помощью теоремы Гаусса рассчитаем электростатическое поле, создаваемое бесконечной заряженной плоскостью с плотностью +, постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что силовые линии перпендикулярны плоскости, направлены от неё в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. То есть поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным. для В качестве замкнутой поверхности применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади S параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее. Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра: . По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и равен . Сравнивая эти выражения для потока , находим .

Для равномерно заряженной пластины конечных размеров полученное выражение приближенно справедливо в области, находящейся достаточно далеко от краев пластины и не слишком далеко от ее поверхности.