Общие положения об электрогидродинамической аналогии

Методы аналогий широко используются при решении различных задач в аэрогидродинамике. Они основаны на давно известном факте, что многие, различные по своей физической природе явления, описываются одними и теми же уравнениями. И, в частности оказалось, что уравнения потенциального дозвукового обтекания тел аналогичны уравнениям электрического поля. Наибольшее распространение получило использование этого метода при исследовании потенциального обтекания тел несжимаемой средой — электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА).

Рис. 7.1. Обтекание тела плоским потенциальным потоком

Рассмотрим обтекание тела плоским потенциальным потоком несжимаемой среды (рис. 7.1). Присутствие тела вызывает искривление линий тока, причем эти возмущения полностью затухают в несжимаемой среде лишь на бесконечности. Однако практически уже на некотором расстоянии от тела поток можно считать невозмущенным, а линии тока и эквипотенциальные линии прямыми. Влиянием границ потока на обтекание можно пренебречь, если модель расположить посередине, а расстояние между горизонтальными и вертикальными границами выбрать не меньше 8-10 характерных размеров тела по соответствующему направлению.

Выделим в потоке, обтекающем тело, область в виде прямоугольника. В этом случае можно считать, что исследуется потенциальное обтекание тела в канале. Тогда горизонтальные границы можно рассматривать как линии тока и на них, также как и на контуре тела, необходимо выполнить условие непротекания: . Вертикальные границы вдали от тела являются линиями равного потенциала, т.е. на них значение потенциала скоростей будет постоянным: .

Сравним формулы для определения характеристик плоского потенциального потока несжимаемой жидкости и стационарного электрического тока в плоском проводнике.

Плоское потенциальное обтекание тела несжимаемой средой	«Обтекание» тела электрическим током в плоском проводнике
— потенциал скорости;	— электрический потенциал;
— функция тока;	— силовая функция тока;
— проекции вектора скорости;	Закон Ома: — проекции плотности электрич. тока, — коэфф. электропроводности;
— уравнение неразрывности (сплошности) несжимаемой среды;	— закон Кирхгофа (уравнение сплошности стационарного электрического тока);
или — уравнения Лапласа.	при или — уравнения Лапласа.

В результате этого сравнения убеждаемся, что электрический потенциал аналогичен потенциалу скорости , а удельная плотность электрического тока аналогична вектору скорости среды. Электрический потенциал , потенциал скорости , функция тока и силовая функция тока удовлетворяют одному и тому же уравнению — уравнению Лапласа. Если область течения электрического поля геометрически подобна области течения несжимаемой среды, а граничные условия для соответствующих функций аналогичны, то интегралы уравнений Лапласа для этих функций будут отличаться лишь произвольными постоянными. Например, (коэффициент введён для соблюдения размерности).