2. Двоично-кодированные системы счисления. Посимвольное и групповое кодирование

Для представления чисел в произвольной системе счисления с основанием с целью их хранения и обработки требуются физические элементы, устойчивые и надежно различаемые состояния которых однозначно соответствуют символам из алфавита системы счисления. Однако решение этой задачи для произвольныхпредставляет собой сложнейшую научную и техническую проблему. К этому нужно добавить еще и необходимость развитого математического аппарата, пригодного для описания, анализа и синтеза дискретных устройств на основе элементов ссостояниями.

Наиболее развита в настоящее время теория и практика построения дискретных устройств на основе двоичных элементов. В качестве математического аппарата используется хорошо разработанная теория булевой алгебры на множестве переключательных функций произвольного числа аргументов.

Переход к двоично-кодированному представлению позволяет строить схемы из двоичных элементов для обработки информации в произвольных позиционных системах счисления. Такие схемы без памяти, называемые комбинационными схемами (КСх), или в общем случае преобразователями кодов, можно использовать для преобразования чисел из одной системы счисления в другую.

При этом возможны два подхода к кодированию:

– посимвольное кодирование;

– групповое кодирование.

При посимвольном кодировании используются так называемые двоично-кодированные системы счисления. В таких системах каждому символу из алфавита сопоставляется оригинальная (неповторяющаяся) кодовая комбинация символов двоичного алфавита. Минимальная длина такой кодовой комбинации определяется соотношением. Для так называемого «естественного» посимвольного кодирования приот 3 до 15 можно использовать табл. П.1.1. Однако возможно и произвольное посимвольное кодирование, задаваемое табличным способом.

Пример 2.1 Рассмотрим двоично-кодированную троичную систему счисления (=3). В соответствии с формулой дляпри кодировании символов троичного алфавита достаточно двух двоичных разрядов. Соответствие символов троичного алфавита и двоичных кодовых комбинаций приведено в табл. П.2.1

Таблица П.2.1

Символы троичного алфавита	03	13	23
“Естественное” двоичное кодирование	00	01	10
Произвольное двоичное кодирование	01	11	10

Тогда троичное число 122,10012₃ в «естественном» двоично-кодированном представлении будет иметь вид 011010,0100000110, а при произвольном – 111010,1101011110. После отбрасывания незначащих нулей получим 11010,010000011 и 111010,110101111 соответственно.

При групповом кодировании оригинальные (неповторяющиеся) кодовые комбинации символов двоичного алфавита сопоставляются уже не отдельным символам кодируемого алфавита, а группам изk смежных символов. В этом случае говорят о так называемых системах счисления с укрупненным основанием, определяемым числом возможных кодовых комбинаций в группе изk символов исходного алфавита.

Разбиение на k - разрядные группы выполняется влево и вправо от запятой. При необходимости исходное число можно дополнить незначащими нулями для получения полных k - разрядных групп.

Пример 2.2 Рассмотрим групповое кодирование для иk = 2. Максимальное целое десятичное число, которое можно представить двумя троичными разрядами, равно S^k-1=3²-1=8. При этом для представления десятичных чисел от 0 до 8 используется 9 двухразрядных троичных чисел из множества {00,01,02,10,11,12,20,21,22}. Следовательно, укрупненное основание в этом случае равно S^k=3²=9. В соответствии с формулой для минимальная длина двоичной комбинации, необходимой для укрупненного основания, равна 4. Соответствие двухразрядных троичных чисел и четырехразрядных двоичных кодовых комбинаций приведено в табл. П.2.2.

Таблица П.2.2

Двухразрядная троичная группа ()	003	013	023	103	113	123	203	213	223
“Естественное” групповое кодирование	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000
Произвольное групповое кодирование	1111	1110	1101	1100	1011	1010	1001	1000	0111

ПРИМЕЧАНИЕ. При произвольном групповом кодировании в табл. П.2.2 использованы двоичные комбинации, инверсные (обратные) “естественным” кодовым комбинациям.

Тогда троичное число 122,10012₃, предварительно дополненное незначащими нулями слева и справа для получения полных двухразрядных групп (0122,100120₃), при “естественном” групповом кодировании будет иметь вид 00011000,001100010110, а при произвольном (инверсном) – 11100111,110011101001.

Пример 2.3 Пусть необходимо построить преобразователь кодов для преобразования чисел в диапазоне от 0 до 18 из троичной системы счисления в тринадцатеричную. В соответствии с формулой П1.2 для представления чисел в диапазоне от 0 до 18 достаточно трех троичных и двух тринадцатеричных разрядов. Табл. П2.3 устанавливает биекцию между двоично-кодированными представлениями чисел на входе и выходе преобразователя кодов.

ПРИМЕЧАНИЯ.

1. При посимвольном кодировании использованы табл. П.1.1., и табл. П2.1.

2. Старшие разряды полученных двоичных кодовых комбинаций, постоянные во всех строках таблицы, можно отбросить. В результате длина двоичных кодовых комбинаций при групповом кодировании для и посимвольном “естественном” дляможет быть уменьшена с 8 до 6.

Таблица П.2.3

	Исход ные	Двоично-кодированные					Исход ные		Двоично-кодирован ные («естественные»)
		Посимвольное «естественное»	Посимвольное произвольное	Групповое «естественное» (k=2)	Групповое «произвольное» (k=2)
0	000	00 00 00	01 01 01	0000 1111	1111 1111	00		0000 0000
1	001	00 00 01	01 01 11	0000 1110	1111 1110	01		0000 0001
2	002	00 00 10	01 01 10	0000 1101	1111 1101	02		0000 0010
3	010	00 01 00	01 11 01	0000 1100	1111 1100	03		0000 0011
4	011	00 01 01	01 11 11	0000 1011	1111 1011	04		0000 0100
5	012	00 01 10	01 11 10	0000 1010	1111 1010	05		0000 0101
6	020	00 10 00	01 10 01	0000 1001	1111 1001	06		0000 0110
7	021	00 10 01	01 10 11	0000 1000	1111 1000	07		0000 0111
8	022	00 10 10	01 10 10	0000 0111	1111 0111	08		0000 1000
9	100	01 00 00	11 01 01	0001 0000	1110 1111	09		0000 1001
10	101	01 00 01	11 01 11	0001 0001	1110 1110	0A		0000 1010
11	102	01 00 10	11 01 10	0001 0010	1110 1101	0B		0000 1011
12	110	01 01 00	11 11 01	0001 0011	1110 1100	0C		0000 1100
13	111	01 01 01	11 11 11	0001 0100	1110 1011	10		0001 0000
14	112	01 01 10	11 11 10	0001 0101	1110 1010	11		0001 0001
15	120	01 10 00	11 10 01	0001 0110	1110 1001	12		0001 0010
16	121	01 10 01	11 10 11	0001 0111	1110 1000	13		0001 0011
17	122	01 10 10	11 10 10	0001 1000	1110 0111	14		0001 0100
18	200	10 00 00	10 01 01	0010 0000	1101 1111	15		0001 0101