Основы дискретной математики

Следствие 2.1. Подходящие дроби несократимы.

Доказательство. Òàê êàê PsQs−1 −Ps−1Qs = (−1)s+1, то любой общий делитель Ps, Qs равен 1. Таким образом, D(Ps, Qs) = 1.

Попробуем представить в виде цепной дроби произвольное веществен ное число. Заметим, что для рациональной дроби этот процесс совпадает

с (2.2). Пусть α R. Имеем

q2 +

· · · +

1

qs−1 + ηs

Очевидно, что если α не является рациональной дробью, то процесс (2.11) можно продолжать бесконечно. Зададимся вопросом:

1.Что понимать под такой бесконечной дробью?

2.Как ее приближенно вычислять?

20

Учитывая теорему 2.2 и свойство (2.9) получаем следующее следствие.

Следствие 2.3.

Замечание 2.5. Равенство в (2.13) достигается только когда α рациональная дробь, а δs последняя подходящая дробь.

Перейдем к формальному определению бесконечной цепной дроби. Разобьем последовательность подходящих дробей на две подпоследователь ности с четными и нечетными номерами. Как уже отмечалось, последо

вательность знаменателей {Qk} возрастает. Применяя (2.9) и теорему 2.2 имеем:

ничена снизу (например, δ2), следовательно, имеет предел. Аналогично

δ1), следовательно, также имеет предел. В силу (2.10) эти пределы совпа дают.

Определение 2.2. Бесконечной цепной дробью будем называть пре дел последовательности подходящих дробей.

Перейдем к вопросу вычисления бесконечной цепной дроби.

Утверждение 2.2.

любой степенью точности ε.

Доказательство. Используя неравенство (2.13) и возрастание после довательности {Qk} получаем оценку

22

Таким образом, для достижения нужной точности вычисляем подходящие

дроби {δm} äî òåõ ïîð, ïîêà

√

Пример 2.7. Вернемся к вычислению

Во время вычисления производим контроль точности по знаменателю.

чаем пять значащих цифр(а реально шесть).

√ Достигнута нужная оценка. Останавливаем процесс вычислений.

28 ' 5, 2911500.

2.7.Наилучшие приближения

Определение 2.3. Дробь ab называется наилучшим приближением

23

Замечание 2.6. Знаменатели дробей, не умаляя общности, считаем положительными.

Наилучшее приближение не обязательно является единственным. У иррационального числа наилучших приближений беско нечно много.

чисел, лежащих внутри промежутка, больше знаменателей его концов,

доказывается, что y > b.

Следствие 2.4. Та из двух границ ab è dc, которая лежит ближе к числу xy, является наилучшим приближением к нему.

Следствие 2.5. Все подходящие дроби для разложения числа α в

цепную (непрерывную) дробь, начиная со второй, являются наилучшими приближениями к α.

Доказательство. Рассмотрим последовательность подходящих дробей к α:

Òàê êàê Pn+1Qn −PnQn+1 = (−1)n, то любые две подходящие дроби, взятые в нужном порядке, обладают свойствами концов промежутка, описанного

в теореме. По свойствам подходящих дробей α всегда находится между по следовательными подходящими дробями. Поэтому ближайшая к α граница

24

является наилучшим приближением. По свойствам подходящих дробей это всегда дробь с большим номером. Следствие доказано.

Упражнение 2.1. Найти три наилучших приближения к π.

2.8.Диофантовы уравнения

Определение 2.4. Пусть a, b, c, x, y Z. Уравнение вида

ãäå x, y неизвестные, называется диофантовым. Установим критерий раз решимости диофантового уравнения.

Теорема 2.4. Пусть d = D(a, b). Уравнение (2.15) разрешимо тогда и только тогда, когда c k d. При этом все множество решений описыва ется уравнениями:

ãäå x0, y0 любое частное решение (2.15), а t произвольное целое число.

Доказательство. Òàê êàê d = D(a, b), то левая часть уравнения (2.15) делится на d. Следовательно, для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы и правая часть делилась на d. Пусть c = de. Согласно утвержде нию 2.1 уравнение ax + by = d всегда имеет решение. Обозначим его через x1, y1. Тогда x0 = x1e, y0 = y1e решение исходного уравнения. Найдем

общий вид решения. Пусть x, y произвольное решение (2.15). Покажем, что оно представимо в виде (2.16). Имеем

(y − y0) k d , следовательно, y = y0 + d t. Подставляя найденое значение

b

y в уравнение, получаем x = x0 − d t. Таким образом, если x, y решение (2.15), то оно имеет вид (2.16). Обратное утверждение проверяется непо средственной подстановкой. Теорема доказана.

Следствие 2.6.

1) Если D(a, b) = 1, то уравнение (2.15) всегда разрешимо.

25

2)При этом решения уравнений ax + by = 1 и a|x| + b|y| = 1 могут отличаться только знаками.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть x, y решения

уравнения ax + by = 1, à x1, y1 соответственно уравнения a|x| + b|y| = 1. Тогда x = x1 · sign(a) , y = y1 · sign(b).

Опишем алгоритм решения уравнения (2.15). Не умаляя общности счи таем, что |a| > |b|.

def

Øàã 1. Находим d = D(a, b). Åñëè c не делится на d, то уравнение не имеет решений.

a

Øàã 2. Приводим уравнение (2.15) к виду a1x + b1y = c1, ãäå a1 = d ,

bc

b1 = d , c1 = d. Ïðè ýòîì D(a1, b1) = 1.

Øàã 3. Находим решение уравнения |a1|x + |b1|y = 1 используя рекуррент ные соотношения (2.3). Пусть это x˜1, y˜1 .

Øàã 4. Используя следствие 2.6 определяем знаки для решения уравнения a1x + b1y = 1. Обозначим решение как x1, y1. Тогда частное решение

исходного уравнения имеет вид: x0 = x1c1, y0 = y1c1. Подставляя в (2.16) получаем общее решение.

Пример 2.9. Решим уравнение 126x − 102y = 18. Имеем:

1.D(126, 102) = 3. Уравнение разрешимо.

2.Приводим исходное уравнение к виду: 21x − 17y = 3.

3.Решаем уравнение 21x + 17y = 1. Используем

4.Тогда x˜1 = y2 = 4 , y˜1 = y3 = 5.

5.Определяем знаки: 21(−4) − 17(−5) = 1. Получаем x0 = −4 · 3 =

−12, y0 = −5 · 3 = −15. Общее решение

x = −12 + 17t, y = −15 + 21t, t Z.

Теорему 2.4 можно обобщить на случай нескольких переменных.

Теорема 2.5. Уравнение a1x1 +a2x2 +· · ·+anxn = c разрешимо тогда и только тогда, когда c k D(a1, a2, . . . , an).

26

Доказательство. Пусть d = D(a1, a2, . . . , an). Òàê êàê a1, . . . , an k d,

òî è a1x1 + a2x2 + · · · + anxn k d. Следовательно, если c не делится на d, то решений нет. Пусть c = de. Докажем по индукции, что уравнение

всегда разрешимо. База индукции (при n = 2) вытекает из теоремы 2.4. Предположим разрешимость уравнения для произвольного n и докажем этот факт для n + 1. Рассмотрим уравнение

a1u1 + a2u2 + · · · + anun + an+1un+1 = D(a1, a2, . . . , an, an+1) ,

при этом согласно теореме 1.4

D(a1, a2, . . . , an, an+1) = D(D(a1, a2, . . . , an), an+1) = D(d, an+1) .

def

Обозначим δ = D(d, an+1). Тогда по теореме 2.4 уравнение

dy + an+1un+1 = δ

разрешимо. Подставляя вместо d → a1x1 + a2x2 + · · · + anxn получаем решение уравнения

a1(x1y) + a2(x2y) + · · · + an(xny) + an+1un+1 = δ .

Индукционный переход доказан. Таким образом, уравнение (2.17) разре шимо для всех n. Вспоминая, что c = de, получаем решение исходного

уравнения a1(x1e) + a2(x2e) + · · · + an(xne) = c .

3.Сравнения

3.1.Классы вычетов и модульная арифметика

Определение 3.1. Пусть a, b, m Z, m > 0. Говорят, что a сравнимо

def

ñ b по модулю m (= a ≡ b (mod m), или сокращенно a ≡ b (m)), если

(a − b) k m.

Теорема 3.1. Для отношения сравнения справедливо:

1)a ≡ b (m), тогда b ≡ a (m) (симметричность);

2)a ≡ b (m), b ≡ c (m), тогда a ≡ c (m) (транзитивность);

3)a ≡ a (m) (рефлексивность).

27

Замечание 3.1. Известные бинарные отношения (>, <, 6, >, k) та кими свойствами не обладают.

Определение 3.2. Классом вычетов по модулю m назовем множе

ство чисел с одинаковым остатком при делении на m.

Теорема 3.2. Все числа из Z распределяются относительно данно го модуля на m непересекающихся классов вычетов со следующими свой ствами:

1)все числа одного класса сравнимы друг с другом по модулю m;

2)числа из разных классов друг с другом не сравнимы.

Доказательство. Пусть a Z. Тогда по теореме 1.1 a = mq + r,

0 6 r < m. Очевидно, что классов вычетов ровно m и все числа из одного класса сравнимы друг с другом. Возьмем числа из разных классов:

a≡r (m), b≡r1 (m), r 6= r1. Тогда a 6 ≡b (m). Действительно, предположим противное. Пусть (a−b) k m, íî a = qm+r, b = q1m+r1, тогда следовательно, r = r1.

Определение 3.3. Если взять по одному представителю из каждо го класса вычетов, то эти m чисел образуют полную систему вычетов ïî

модулю m.

Пример 3.1. Простейшие полные системы вычетов:

1){0, 1, 2, · · · , m − 1} наименьшие положительные вычеты;

2){0, −1, −2, · · · , −(m − 1)} наименьшие отрицательные вычеты;

3)для произвольного a Z {a, a + 1, a + 2, · · · , a + (m − 1)};

4)åñëè D(a, m) = 1, òî {0, a, 2a, · · · , (m − 1)a}.

Теорема 3.3. Справедливы следующие свойства сравнений: 1) a ≡ b (m), m k k, тогда a ≡ b (k);

28

Следствие 3.1. a ≡ b (m), тогда ac ≡ bc (m) c Z.

Теорема 3.4 (арифметика сравнений). Сравнения по одному мо

дулю можно почленно складывать, вычитать и перемножать. Доказательство. Пусть a ≡ b (m), a1 ≡ b1 (m). Тогда

((a−b)+(a1−b1)) = ((a+a1)−(b+b1)) k m, следовательно, a+a1 ≡ b+b1 (m).

С другой стороны, так как a ≡ b (m), по следствию 3.1 −a ≡ −b (m). Ïî

вторяя предыдущие рассуждения, получаем a − a1 ≡ b − b1 (m). Далее, используя следствие 3.1 для сравнения a ≡ b (m), получаем aa1 ≡ ba1 (m), применяя это же следствие для сравнения a1 ≡b1 (m), имеем ba1 ≡bb1 (m).

Тогда по транзитивности сравнений (теорема 3.1) aa1 ≡ bb1 (m). Теорема доказана.

Следствие 3.2. Утверждение теоремы 3.4 можно обобщить на лю бое конечное число сравнений. В частности, если a ≡ b (m), то

an ≡ bn (m) n Z, n > 0.

Теорема 3.4 определяет действия над классами вычетов по данному модулю m. Åñëè a A, b B, тогда A + B класс вычетов, к которому

принадлежит a + b, à AB это класс, к которому принадлежит ab. Таким образом, справедлива следующая теорема.

def

Теорема 3.5. Множество классов вычетов (= Z/(m)) является коммутативным кольцом с единицей.

Замечание 3.2. Если модуль m не является простым числом, то Z/(m) не является полем. Действительно, пусть m = p1p2, ãäå

p1, p2 > 1 è p1, p2 < m. Тогда справедливо

(p1 + 1)p2 = p2,

1 · p2 = p2.

Отсюда следует, что при составном модуле Z/(m) не является целост

ным кольцом (есть делители нуля), однако, как будет показано далее (см. замечание 3.6), для простых модулей Z/(m) изоморфно GF(m) полю

Галуа.

Пример 3.2. Рассмотрим таблицы арифметических действий (таб лицы Кэли) для Z/(6).

29