Динаміка ідеальної рідини. Основний закон гідродинаміки (рівняння Бернуллі).

У думках виділимо всередині сталого потоку рідини трубку струму, настільки малого поперечного перетину, щоб: по всьому перетину.

Розглянемо елементарну масу рідини, обмежену перетинами і , в яких

Рис. 4.16.

Знайдемо зміну повної енергії виділеної маси за малий проміжок часу .

За цей час дана маса рідини просувається вправо, обмежена перетинами , .

Частина рідини , ніяких енергетичних змін не випробовує. Енергетичні зміни полягають у тому, що маса рідини між та , така ж як при переміщенні в положення .

Тоді повна енергія переміщеної маси рідини в І положенні:

у новому положенні:

Отже, при переміщенні з першого в друге положення повна енергія змінилася на величину:

Згідно закону збереження енергії: зміна повної енергії повинна дорівнювати роботі зовнішніх сил тиску на і .

Повна робота зовнішніх сил:

Використовуючи рівняння нерозривності струменя:

; – об'єм даної маси рідини.

Тоді:

;

Так, як і – довільні, то

(4-22)

носить назву рівняння Бернуллі.

Рівняння Бернуллі (1738 р.) (Данило Бернуллі – член Петербурзької академії наук.)

Основне рівняння гідродинаміки справедливе для стаціонарного руху ідеальної рідини. Але його в наближенні можна застосувати і для реальних рідин.

Рівняння Бернуллі – наслідок закону збереження механічної енергії.

Фізичне значення вхідних в рівняння доданків.

Всі доданки мають розмірність тиску.

а) Р – називається тиск усередині руху рідини (статичний тиск) – вимірюється манометром, нерухомий щодо поточної рідини (на практиці манометром з мембраною, площина якого паралельна лініям струму.);

б) доданок – гідродинамічний тиск, показує на яку величину зменшився тиск усередині рідини внаслідок її руху;

в) доданок – гідравлічний тиск, що показує на скільки зменшився статичний тиск при піднятті трубки на висоту h.

Інтерпретація рівняння Бернуллі: в сталому русі ідеальної рідини повний тиск, що складається з динамічного, гідравлічного і статичного, однаковий для всіх поперечних перетинів трубки потоку.

Постійна Бернуллі має значення тиску усередині рідини, що покоїться, на рівні, прийнятому за початок відліку.

Рис. 4.17.

Рівняння Бернуллі показує, що в поточній рідині статичний тиск зменшується із збільшенням швидкості потоку і підняттям трубки струму над нульовим рівнем.

Наслідки:

1. У будь-якому місці горизонтально розташованої трубки струму повний тиск залишається величиною постійною.

2. Для S = const, V = const, тиск p+gh – називається гідростатичним тиском.

Рис. 4.18.

Формула Торрічеллі

Розглядаючи посудину з отвором внизу, як трубку струму, можна записати рівняння Бернуллі для і :

Рис. 4.19.

– тиск в струмені води, яка витікає з отвору, рівний ;

– тиск, над вільною поверхнею води;

– швидкість переміщення рідини в посудині мала.

Враховуючи це: ;

Звідси: ;

При (тиск на вільній поверхні рівний атмосферному):

– формула Торрічеллі (4-23)

Таку ж швидкість має матеріальна точка яка вільно падає з висоти H.

Застосування рівняння Бернуллі: вимірювання повного тиску всередині рухомої рідини: трубки Піто – трубка з отвором перпендикулярним потоку.

Трубка Прандтля – комбінація трубки Піто з манометричною трубкою, що вимірює статичний тиск. Трубкою Прандтля вимірюють динамічний тиск і використовують для визначення швидкості витікання рідини.