Механіка рідин і газів. Основи гідростатики.

Рідини і гази за своїми властивостями значно відрізняються від твердих тіл: тверде тіло – має власний об’єм та форму, то рідини – лише об’єм, не маючи власної форми, гази – не має ні власного об’єму ні власної форми. Реальним газам та рідинам властиві характерні властивості: стисливість та внутрішнє тертя (в’язкість). При вивчені руху, одночасне урахування цих властивостей значно ускладнює механічну задачу. Для з’ясування загальної картини руху рідин (газів) – використовується модель ідеальної рідини – рідини, яка не має в’язкості та стисливості.

Гідростатика вивчає закони (умови) рівноваги рідини.

Тиск в рідинах і газах.

На рідину, яка знаходиться в деякому елементарному об’ємі V діє два типа сил:

1. масові (об’ємні) сили тяжіння , прикладені у центрі виділеного об’єму.

2. До виділеного об’єму рідини прикладені поверхневі сили, які діють зі сторони рідини, що залишилася, перпендикулярно до поверхні, яка обмежена об’ємом V.

Рис. 4.7.

Сили тиску: ,

За аналогією з АТТ запишемо виділеного об’єму рідини масою m

умову рівноваги ,

(4-15)

, (4-16)

Виділений об’єм рідини знаходиться в положенні рівноваги, якщо результуюча масових та поверхневих сил рівні між собою за модулем та протилежно направлені.

Сили, направлені по нормалі до поверхні об’єму рідини називаються направлені силами тиску – або поверхневими силами .

Виділимо деякий елемент поверхні рідини, який охоплює розглянуту точку S. Нехай рівнодіюча поверхневих сил . Тоді

, – гідродинамічний тиск.

Гідродинамічний тиск – це поверхнева сила, віднесена до одиниці площі поверхні рідини.

Закон Паскаля.

(Блез Паскаль французький вчений ХVII ст.)

Покажемо, що тиск в ідеальній рідині не залежить від орієнтації елемента площі S , що містить досліджувану точку.

Виділимо в середині рідини елементарний об’єм у вигляді довільної тригранної призми на бічні грані якої діють поверхневі сили тиску .

Рис. 4.8.

Використовуючи умову рівноваги, побудуємо замкнутий силовий трикутник авс, який буде подібним АВС (рис. 4.8.)

З подібності ΔАВС ~ Δabc :

Зменшуючи площу S, приходимо до співвідношення ;

де , , ,

Статичний тиск, тобто тиск у нерухомій рідині однаковий – не залежить від орієнтації площі поверхні рідини S

Закон Паскаля: тиск в будь-якій точці рідини (або газу) однаковий за усіма напрямками, а зовнішній тиск передається рідиною однаково по всьому об’єму.

Застосування закону Паскаля: Гідравлічні механізми (гідравлічний прес, гальма та ін.) – штампування виробів, підіймання важких тягарів.

; ;

При великій різниці розмірів поршнів можна отримати великий виграш в силі.

Розподіл тиску у рідинах та газах. (Закон гідростатичного тиску)

Виділимо в однорідній рідині елементарний об’єм рідини у вигляді прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 4.9.

Використаємо умову рівноваги виділеного елементу рідини у проекції на вісь Oz аналогічно умови рівноваги твердого тіла:

Зменшуючи паралелепіпед та вважаючи висоту і площу його основи нескінченно малими, отримаємо:

Визначимо закон розподілу тиску в рідині по висоті в залежності від глибини занурення:

; ; ;

; – гідростатичне рівняння. (4-17)

Наслідок закону гідростатичного тиску:

1. тиск рідини на дно не залежить від форми посудини, а тільки від h.

2. тиск на елемент бокової стінки судини залежить від його глибини від поверхні.

3. вільна поверхня однорідної рідини у сполучених посудинах встановлюється на одній висоті.

4. У випадку неоднорідної рідини висоти їх вільних поверхонь у сполучених посудинах над своєю поверхнею обернено пропорційні густинам рідин.

Дослід: Гідростатичний парадокс.

Рис. 4.10.

4. Закон Архімеда. Архімед (287 – 212 рр. до нашої ери) встановив, що уявна вага тіла, зануреного в рідину або газ, менша дійсного на стільки, скільки важить витіснена тілом рідина або газ.

Рис. 4.11.

Архімедова сила – результат неоднакового тиску рідини на різні ділянки поверхні зануреного тіла: тиск, який здійснює рідина на нижні частини тіла більша тиску на поверхні.

(4-18)

Архімедова сила рівна вазі рідини в об'ємі тіла (зануреної частини тіла)

, де

Рис. 4.12.

Формулювання: На будь-яке занурене в рідину (газ) тіло діє виштовхувальна (Архімедова) сила, що дорівнює вазі рідини (газу), яка витіснена цим тілом та прикладена до центру тяжіння (центру мас) витісненого тілом об'єму рідини (газу).

В загальному випадку отримання формули для сили Архімеда можливо зробити таким чином:

; ;

Запишемо останній вираз в диференційній формі,

; .

Переходячи до інтегрування по замкнутій поверхні отримаємо:

(4-20)

Пояснення архімедової сили, на основі принципу затвердіння.

Рис. 4.13.

Уявімо собі, що рідина в об'ємі зануреного тіла затверділа, зберігши незмінною свою густину. Вага затверділої частини рідини буде дорівнювати силі тиску, з якою на нього діє оточуюча рідина: , (Умова рівноваги рідини).

Якщо помістимо в рідину тверде тіло, то на нього буде діяти виштовхувальна сила, яка дорівнює вазі рідини, що витісняється зануреним тілом.