Поняття миттєвої осі обертання

Миттєва вісь обертання – сукупність точок тіла, що мають для дослідної точки швидкість = 0 відносно нерухомої СВ. Положення миттєвої осі обертання з часом, змінюється відносно нерухомої СВ, але в кожний окремий момент часу вісь нерухома.

Рис. 4.3.

Приклад: кочення тіла – обертання навколо миттєвих осей обертання, що є точками дотику колеса до площини по якій котиться колесо.

Динаміка обертального руху абсолютно твердого тіла Поняття моменту інерції та моменту імпульсу твердого тіла

У випадку обертального руху твердого тіла вводиться дві важливі динамічні характеристики руху – момент інерції та момент імпульсу твердого тіла, які є аналогом відповідних характеристик поступального руху – маси тіла і його імпульсу.

Момент інерції твердого тіла відносно осі обертання – фізична скалярна величина, що чисельно дорівнює сумі моментів інерції його окремих точок відносно загальної осі обертання.

(4-1)

Момент інерції матеріальної точки визначається добутком маси точки на квадрат її віддалі до осі обертання.

(4-1а)

За своїм фізичним змістом момент інерції слід розглядати як кількісну міру інертності твердого тіла по відношенню його до обертального руху, тобто Iz характеризує інертні властивості твердого тіла при його обертальному русі і є аналогом маси тіла .

Момент інерції, як і маса тіла є величина адитивна, тобто момент інерції тіла дорівнює арифметичній сумі моментів інерції, окремих його частин або частинок.

Для суцільного тіла:

(4-2)

В загальному випадку при ;

Моменти інерції тіл правильної геометричної форми

(4-3)

Моментом імпульсу твердого тіла відносно осі обертання називається векторна фізична величина, яка визначається добутком моменту інерції тіла на кутову швидкість обертання.

(4-4)

Тобто вектори – осьові співнаправлені вектори.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.

Мислено розіб’ємо тверде тіло, що обертається навколо нерухомої осі на нескінченно малі елементи з масою , які будуть рухатись по коловим орбітам, розміщеним в площинах перпендикулярних до осі обертання. Нехай радіус довільної траєкторії r_i і на кожний елемент тіла діє рівнодійна зовнішніх сил і результуюча сила внутрішнього походження .

Запишемо динамічне рівняння руху довільного елемента в проекціях на дотичну до колової траєкторії в даній точці:

Помножимо скалярно на r_i : ; . Враховуючи, що:

динамічне рівняння руху перепишемо наступним чином:

. Проведемо додавання всіх рівнянь по всім точкам твердого тіла:

Враховуючи, що маємо , – результуючий момент зовнішніх сил, а – результуючий момент внутрішніх сил дорівнює 0 (внутрішні сили – це сили першої взаємодії, на основі III закону Ньютона їх результуюча = 0).

Нарешті отримаємо: . Враховуючи векторний характер величин , запишемо останній вираз у векторній формі :

(4-5)

Одержане рівняння носить назву основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла або II закону Ньютона для обертального руху твердого тіла .

(4-5а)

Кутове прискорення обертального руху твердого тіла прямо пропорційна моменту зовнішніх сил, обернено пропорційне результуючим моменту зовнішніх сил, обернено пропорційні моменту інерції тіл і направлено вздовж осі обертання співпадаючи з вектором .