7. Властивості неперервніх на сегменті функцій: обмеженість, досягнення точніх граней, проміжні значення, нулі, рівномірна неперервність.

Функц наз непрерывной в т , если

Пусть дано числовое множество , поставлено в соответствие число , тогда говорят что на множ Х задана числовая функция, и пишут ,

Функц наз непрерывной справа (слева) в т , если

Глобальные св-ва непрерывных ф-й

Глобальным наз св-во, связанное со всей областью определения ф-ции.

Опр. Ф-я f(x) наз. непрерывной на мн-ве X ( f(x) C(X)) если она непрерывна в каждой точке множества.

Опр. Функция наз. непрерывной на отрезке [a,b] (f(x) C[a,b]), если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Ограниченность. Тh: если непрерывна на , то это значит что функция ограничена на сегменте .

Достижение точных граней: Тh: если функция непрерывна на сегменте, то она на этом сегменте достигает своей точной верхней и точной нижней грани.

Нули: Тh: (Коши о промежуточном значении) если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой функция обращается в нуль. ( )

Промежуточные значения: если функция непрер на интервале и в каких-то точках и интервале принимает значение и , то лежищего между и , найдется точка , лежащая между и , в которой .

Равномерная непрерывность: функц наз равномерно непрерывной на множ , если выполняются

1. если ф-ция равномерно непрер на множ, то она непрер в любой его точке

2. непрерывность ф-ции не влечет ее равномерную непрерывность

отрицание св-ва функции быть равномерно непрерывной: не явл равномерно непрер: = ( )

Тh: (кантора о равномерной непрерывности) ф-ция непренывна на отр, равномерна непрерывна на этом отрезке.

8. Означення похідної функції в точці. Геометричній і фізичний зміст похідної. Диференційовність та її зв’язок з неперервністю. Диференціал функції та його застосування.

Пусть дана ф-я , опред. на . Выберем любую т. и дадим нек. приращ. (настолько малое, что ) Приращ. ф-и в т. :

Опр. Производной ф-ей в точке от наз. предел отношения приращения ф-и к приращ. ее аргумента, когда последн. . ( )

Опр. наз. дифференцируемой в т. , если A=const, не зависящ. от , - бескон малая функ при

Th.

Утв: , т. е. если слева = справа

Опр. Лин. часть приращ. ф-и наз. диф-лом ф-и

Опр. наз. возраст. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

, .

Опр. наз. убыв. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

, .

Физический смысл: если функция описывает некоторый физический процесс, то производная является скоростью этого процесса.

Геометрический смысл: значение производной функции при равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функций в т. , тоесть