44. Первая квадратическая форма поверхности. Понятие внутренней геометрии поверхности.

Первой квадратической формой поверхности s называется квадратическая форма:

, где - коэффициенты первой квадр. формы. Для поверхности, заданной явным уравнением коэфоциенты I квадратической формы имеют вид: . I квадратическая форма есть позитивно определенной. Для коэффициентов I кв. формы используются такие обозначения: . Матрица называется матрицей I кв. формы. Определитель этой матрицы будем обозначать символом g. Матрица, обратная к данной записывается в виде: и ее элементы выражаются через элементы матриц I кв. формы по таким формулам: , .

Геометрический смысл: На поверхности зададим кривую: . Найдем длину дуги S: - длина дуги. - длина этой кривой. перейдем к дифференциалу: - дифференциал длины дуги. или . Первая квадратическая форма поверхности = квадрату дифференциала длины дуги = метрической форме.

Длина дуги кривой на поверхности: Пусть - поверхность, - кривая, лежащая на ней, Р₀ – точка, общая для Ф и , r=r(u,v) – какая-нибудь параметрическая поверхность, в окрестности т. Р_0. Каждой т. Р(t) соответствует значение: u(t), v(t) такие, что . Равенства u=u(t), v=v(t) мы будем называть уравнением кривой на поверхности. Пусть Ф –регулярная поверхность, - регулярная кривая на ней. Пусть r=r(u,v) и r=r(t) их регулярные параметры в окрестности т. Р₀, удовлетворяющие обычным условиям: v_u r_v , , тогда в уравнениях кривой на поверхности u=u(t), v=v(t) функции u(t) и v(t) регулярные функции, причем . Кривую поверхности всегда можно задать в окрестности каждой точки равенствами u=u(t), v=v(t), причем если поверхность и кривая - регулярны, то и u(t) и v(t) – регулярные функции. Рассмотрим длину дуги на поверхности. Пусть Ф –регулярная поверхность, и r=r(u,v) – ее регулярные параметры. Пусть - регулярная кривая на поверхности, заданная уравнениями: u=u(t), v=v(t). Найдем выражение длины дуги отрезка кривой с концами в т. Р₀(t₀) и Р(t). Имеем: -квадратическая форма поверхности. Для измерения дуги кривой на поверхности достаточно знать I кв. форму поверхности. I кв. Форма задает матрицу поверхности, и часто называет ее линейным элементом поверхности. I кв. форма не определяет поверхность однозначно.

45. Вторая квадратическая форма поверхности. Ее геометрический смысл и применение.

II квадратической формой поверхности называется квадратическая форма, определенная в т. М и ассоциированная с оператором Вейерштрасса в этой точке. II квадратическую форму можно подать в виде формулы: , где , , - коэффициенты II квадратической формы. Если поверхность задана уравнением , то . Для коэффициентов II кв. формы используются также обозначения: . Матрицу называют матрицей II квадратической формы. Квадр. форму можно подать в виде: II= , где , , . Нормальным сечением поверхности S в т. Р называется пересечение поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в этой точке. . Из этого следует, что .

График:

Нормальной кривизной К_H кривой, лежащей на поворот, в ее точке М называется скалярная проэкция вектора кривизны кривой в этой точке на нормаль поверхности. Нормальная кривизна кривой на S совпадает с точностью до знака с кривизной нормального сечения поверхности, имеющего с кривой общую касательную и вычисляется по формуле: . Формула Менье: . Нормальная кривизна кривой зависит от вектора скорости кривой: .

61. Сравнения по простому и составному модулю. Решение сравнений.

Два целых числа а и в сравнимы по модулю натурального числа m є N, если при делении на m они дают одинаковый остаток. .

Теорема (критерий сравнимости): . Следствие 1: каждое число сравнимо по модулю m со своим остатком от деления на m: . Следствие 2: число сравнимо по модулю m, т. и т. т., к. оно делится на этот mod.

Основные свойства сравнения: 1). Относительные сравнения являются относительно эквивалентными. 2). Сравнения по одному и тому же модулю можно почленно вычитать: . Слагаемое можно переносить из одной части в другую, при этом знак меняем на противоположный. 3). В каждой части сравнения можно прибавлять любое число, кратное модулю: сравнения по одному и тому же модулю можно почленно умножать. Следствия: 1. Обе части сравнения можно возводить в любую натуральную степень. 2. Обе части сравнения можно умножать на любое натуральное число. 4). Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же число или сократить на любой их общий делитель. 5). Если сравнение имеет место по нескольким модулям то оно имеет место и по модулю, который равен их наибольшему кратному или наибольшему общему делителю